0355

357

§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

Na tym zakończymy przegląd różnych metod sumowania szeregów rozbieżnych, gdyż już te metody wystarczą, by dać czytelnikowi pojęcie o różnorodności sposobów podejścia do tego zagadnienia. Za każdym razem dowodziliśmy regularności metody, jako jej niezbędnej własności. Niestety jednak nie zawsze mogliśmy się dostatecznie wgłębić w zagadnienie wzajemnego stosunku różnych metod. Tymczasem może się zdarzyć, że dwie metody mają przecinąjące się zakresy stosowalności (ale żaden z nich nie pokrywa całkiem drugiego); może się też zdarzyć, że dwie metody przypisują jednemu i temu samemu szeregowi rozbieżnemu różne sumy uogólnione.

425. Przykłady. 1) Niech {a.} będzie nieujemnym, monofonicznie malejącym ciągiem zbieżnym do zera. Przyjmijmy

Ao = a₀, A„ = a<> + aj + ••• + 0. (n > 0) .

Udowodnić, że szereg

A o — A1Ą-A2 —    ...

o wyrazach zmieniających kolejno znak jest samowolny metodą Cesary (pierwszego rzędu) i jego suma uogólniona jest równa połowie sumy zbieżnego szeregu naprzemiennego

ot = a₀-ai+a2—a₃+ ...

(G. H. Hardy).

Wskazówka. Obliczyć średnią arytmetyczną 2m początkowych sum częściowych danego szeregu. Da się ona przedstawić w postaci

1    . (<?o—ai)+(ao—<?i4-03—03)+ +(flo~Oi+ ■■■ -fCzu-i~Qł»-i)

2    m

i na mocy twierdzenia Cauchy'ego [33,13] dąży do y a. Późnięj łatwo już jest udowodnić, że do tej samej granicy dążą też średnie arytmetyczne pierwszych 2m+1 sum częściowych.

1    ti | 2

2) Biorąca. = —— lub a, = In—— (n = 0, 1, 2, ...), wykazać na podstawie twierdzenia 1),

WT 1    fl~T 1

że rozbieżne szeregi

oraz

ln 2—ln 3+ln 4—In 5+ ...

są obydwa sumowalne metodą Cesary i ich sumy uogólnione wynoszą odpowiednio -i ln 2 i y In y tc. Wskazówka. Dla drugiego szeregu skorzystać z wzoru Wallisa [317],

3) Na podstawie tego samego twierdzenia udowodnić, że dla — 1 <x<0 rozbieżny szereg Dirich-

(—U--¹

H*

n¹ (f=-x, 0<£<1)

jest sumowalny metodą Cesary.

Wskazówka. Przedstawić n¹ jako sumę

n⁽ = (l-0)+(2¹-l)+ ... +(«^f-(#i-l)⁴)

i wykazać metodami rachunku różniczkowego, że ciąg o wyrazach n¹—(n— 1)¹ maleje, gdy n rośnie, i przy tym, wobec 32, 5), dąży oczywiście do 0.

4) Jeżeli „rozrzedzimy” wyrazy szeregu zbieżnego wstawiając dodatkowo zera, to nie odbije się to ani na zbieżności szeregu, ani na wartości sumy. Jak widać z poniższych przykładów, dla sumowania uogólnionego rzecz się ma inaczej.

1

H„ oznacza, jak zwykle n-tą sumę częściową szeregu harmonicznego.