0347

349

8 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

dla 0 < x < 1. Wykonując dwukrotnie przekształcenie Abela [patrz 383, a szczególnie 385, 6)] będziemy kolejno otrzymywali

00

co

/(*) = ( l-x)

Należy przy tym pamiętać, że A₀+A₁ + ... +A_m = (n+1) a„. Wiadomo, że dla 0 < x < 1 jest (l-x)-² = £ (n+1) x", czyli

jH)

1 = (1 -x)²^(n+l)x^M.

*-o

Pomnóżmy obie strony tej tożsamości przez A i odejmijmy stronami tożsamość otrzymaną wyżej; dostaniemy

A -/(x) = (1 - x)² (n +1) (A - «„) x"

Sumę po prawej stronie rozbijmy na dwie części

^(i_x)2Ź^+(i_x)2Z

wybierając w ten sposób N, żeby dla n > N zachodziła nierówność

|A-a,| < e,

gdzie e jest dowolną z góry daną liczbą dodatnią. Wówczas bezwzględna wartość drugiej sumy jest sama mniejsza od e (niezależnie od x), a dla pierwszej sumy można to osiągnąć kosztem przybliżenia x do 1. Tym samym zakończony jest dowód twierdzenia [porównaj z dowodem twierdzenia Abela w ustępie 418].

Stwierdziliśmy zatem, że we wszystkich przypadkach, kiedy da się zastosować metoda Cesary, da się także zastosować metoda Poissona-Abela i to z tym samym wynikiem. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: istnieją szeregi, które są sumowalne metodą Poissona-Abela, a nie mają sumy uogólnionej w sensie Cesary. Rozpatrzmy na przykład szereg

1—2 + 3—4+ ...

Ponieważ w widoczny sposób nie jest tu spełniony konieczny warunek sumowalności

(') O prawdziwości tej tożsamości można się też łatwo przekonać bezpośrednio, wychodząc od zbieżnego, wobec ograniczoności a„, szeregu występującego po prawej stronie:

(l-2x+x^J)£ (n+1) a, x* = £ [(n+1) a.-2na₁₁-₁ + (n-l) xT =

a-0    a-0

=    {[(n+1) *a-»«a-il-[«a.-i-(n-l) a„-₂]} x* = £    x" = a„ x*.

g«0    ■•O    a-0

Przyjmujemy przy tym a-, = a_₂ = A-, = 0. Zbieżność ostatniego szeregu wynika tu jako wniosek.