0345

§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

347

Później różni autorzy udowodnili wiele subtelnych twierdzeń tego typu (przyjęło się nazywać je twierdzeniami tauberowskimi) modyfikujących i rozszerzających warunki Taubera. Nie będziemy się na tym zatrzymywali.

420. Metoda średnich arytmetycznych. Idea tej metody w swojej najprostszej realizacji pochodzi od G. Frobeniusa, ale wiążą ją zwykle z nazwiskiem E. Cesaro, który metodę tę dalej rozwinął. A oto na czym metoda ta polega.

Dla ciągu sum częściowych danego szeregu liczbowego (A) tworzymy kolejne średnie arytmetyczne

^ao — Aq,

ot, =

Ao + Ai

OL, =

Aa + Ai + ... +A_n

2    n

jeżeli ciąg {a.} ma granicę A, gdy u -+ oo, to liczbę tę nazywamy uogólnioną sumą (w sensie Cesary) danego szeregu.

Przykłady. 1) Wracając do szeregu

1—1 +1-1 +1-1+...

mamy tutaj

<*2fc —

k+1 2Ar + l

1

= — >

a zatem «, ->■-£•. Otrzymaliśmy tę samą sumę co metodą Poissona-Abela [418,1)].

2) Sumy częściowe szeregu

00

Y + ^] COS nO (—TT < 0 < 7t)

Rai

są równe (jeśli tylko 6^0)

sin («+ y)0 - .

2 sin — 0 2

Teraz nie jest już trudno obliczyć średnie arytmetyczne:

II    W

(n+1) a« s-L--V sin lm+ —) 0 —--—-— V [cos mO—cos (»t+l) 0] =

_ 1—cos (n+1) 0    1

4 sin¹ v 0 2

²l sin -j- 0    /'

Ostatecznie więc

,    ( sin-jOt+l) 0

2 (n+1) \ _Sin J-6    ) ‘

Oczywiście a. -► 0 i granica uogólniona dla 0+=O także tutaj równa się 0 [porównaj 418, 2)]. 3) Wreszcie niech znowu będzie dany szereg

y, sin n0 (—7t < 0 < tt) .

Dla 0#O mamy

R-l

COS -i- 0— COS («+ y) 0

2 sin — 0 2