0349

351

§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

Dla dowolnego A_m (gdy n<m<n+k) możemy otrzymać, korzystając z przyjętej w założeniu nierówności a_m>—Cjm, następujące oszacowanie z dołu:

A_m — A_m+(a_m+1+ ... +«_m) > A— C,

n

skąd po zsumowaniu względem m otrzymujemy

S > kA_n—— C. n

W zestawieniu z (10) daje nam to nierówność

(11)    A_n < oc_B+fc-f" («»+>—<*«)+ — C.

k    n

Będziemy teraz w dowolny sposób zwiększali n do nieskończoności, a zmianę k poddamy takiemu ograniczeniu, by stosunek kin dążył do z góry danej liczby e>0. Wówczas prawa strona nierówności

(11)    będzie dążyła do granicy równej A + sC, dla dostatecznie dużych wartości n będzie więc

(12)    A, <A + 2eC.

Zupełnie analogicznie, rozpatrując sumę

II

S' =    £ A_m= ka,_n+(n+l) («,-«»-»)

m-B-k+1

i znajdując dla A_m (n—k<m<n) oszacowanie z góry

A_m — A_n—(a_m+1+ ... +«») < A,-)--C,

n—k

dojdziemy do nierówności

S’ <kA_m+-^~C. n—k

Stąd

A_n > <x„-ł+    (a«-*«-t)--—~j~ C .

k    n—k

Jeżeli n -*• oo i równocześnie k/n -*■ e tak samo jak poprzednio (z tym, że teraz zakładamy e< -i- ),

to prawa strona tej nierówności dąży do granicy A—~— C>A—2eC. Dla dostatecznie dużych n

1 — £

okazuje się zatem, że

(13)    A, >A-2eC Zestawiając nierówności (12) i (13) widzimy, że rzeczywiście

lim A, = A .

Twierdzenie zostało udowodnione.

Zauważymy, że podobne twierdzenie tauberowskie zostało potem udowodnione także dla sumowania Poissona-Abela. Udowodnione przed chwilą twierdzenie jest szczególnym wnioskiem z tamtego. Jednak z powodu skomplikowanego dowodu nie przytoczymy go tutaj.

423. Zastosowanie sumowania uogólnionego do mnożenia szeregów. Zatrzymamy się na zastosowaniu uogólnionych metod sumowania do mnożenia szeregów według reguły Cauchy’ego [389]. Niech będzie dany oprócz szeregu (A) jeszcze szereg

(B)

bn = Ó₀ + Ól+ ”• +(*»+

00