0261

263

§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych

3) Rozpatrzmy szereg 2 (-!)■ sin £ dla dowolnego    0. Twierdzenie Leibniza można tu zasto-

sować jeżeli nie do samego szeregu, to przynajmniej do dostatecznie dalekiej reszty. Rzeczywiście, dla do

x

statecznie dużego n wartość sin — ma taki sam znak jak x i co do bezwzględnej wartości maleje, gdy n

n

rośnie. Szereg jest więc zbieżny, oczywiście warunkowo [patrz 367, 8) (c)].

4) Ażeby pokazać, że żądanie, by liczby c, malały monofonicznie nie jest w twierdzeniu Leibniza bynajmniej zbędne, rozpatrzymy szereg

j/2-1 ^2+1 yT-i y/T+i    jń-1 V»+i

którego wyrazy zmieniąją kolejno znak, a ogólny wyraz dąży do zera. Suma jego 2n wyrazów jest równa

i wzrasta nieograniczenie wraz z n — szereg jest rozbieżny. Łatwo sprawdzić, że nie ma tu monotonicz-

do wyrazu

Vn+1-1 '

ności przy przejściu od wyrazu--=-do wyrazu —■

yn+1    i

Do tego samego celu może służyć rozhieżny szereg

00

Przekonanie się o tym pozostawiamy czytelnikowi.

3) Ten ostatni szereg pozwala zrobić następującą uwagę. Jeśli porównamy go ze zbieżnym szere-

N«1

więc twierdzenie 2 z ustępu 366 nie ma swojego odpowiednika w teorii szeregów o wyrazach dowolnego znaku.

6) Korzystanie w rachunkach z szeregów rozbieżnych i wykonywanie działań na ich nieskończonych sumach może prowadzić do paradoksów. Oto na przykład jeden z nich

Jeżeli to samo przekształcenie zastosujemy do szeregu zbieżnego

(i > 0),

to otrzymamy

gdzie

Dla «<1 (w tym przypadku ostatni szereg jest rozbieżny) otrzymujemy znowu paradoks; p<0 [porównaj 381, uwaga]. Dla s>l mamy do czynienia z szeregami zbieżnymi i otrzymujemy wynik poprawny.