0255

§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych

257

U* -1).

Jest tu

Ul dla — 1 < x < 1,

<2>* = ■ - dla x = 1 ,

2

0 dla x < — 1 lub x > 1 ,

a więc szereg jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich wartości x ^ — 1.

Tutaj

1—*"⁺¹    ’    ^ j ,ji_a x > i i_ub _x < _ i .

Dla U! < 1 szereg jest bezwzględnie zbieżny, w przypadku Ul > 1 kryterium d’Alemberta nic nie daje, ale mimo to możemy wywnioskować, że szereg jest rozbieżny, gdyż nie jest spełniony warunek konieczny

zbieżności.

4) Wróćmy do szeregu hipergeometrycznego [372]

dla dowolnych «, /?, y i x (o parametrach a, fi, y zakładamy tylko, że są różne od zera i od liczb całkowitych ujemnych).

Stosując kryterium d’Alemberta w nowym brzmieniu przekonamy się, że dla U! < 1 szereg ten jest bezwzględnie zbieżny, a dla UI>1 jest rozbieżny.

Niech teraz będzie x = 1. Ponieważ stosunek

««+1

= 1 +■£ ■* P⁺¹ +Ą- (|0.| «.£)

ii    n*

n    n

jest dla dostatecznie dużych n dodatni, przeto wyrazy szeregu będą miały począwszy do pewnego miejsca stały znak, a wówczas do tego szeregu (lub do szeregu bezwzględnych wartości) można po dawnemu zastosować kryterium Gaussa, które wykazuje, że szereg jest zbieżny — oczywiście bezwzględnie — gdy y—a—fi > 0, a jest rozbieżny, gdy y—a.—/? < 0.

Niech wreszcie będzie x = —1. Z tego co było powiedziane jest jasne, że dla y—a—j8>0 będzie zbieżny szereg utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu F(<x, fi, y, —1), a zatem dany szereg jest w tym przypadku zbieżny bezwzględnie. Dla y—«—fi< — 1 będzie począwszy od pewnego miejsca

-2t— < 1, tzn. \a,\ < U.+il;

#n+l

a. nie dąży do zera i szereg jest rozbieżny.

W przypadku x = —1 i —1 < y—ot—fi < 0 zagadnienie zbieżności pozostaje na razie otwarte.

379. Szereg potęgowy i Jego przedział zbieżności. Rozpatrzmy szereg potęgowy

oo

II-O

(4)

17 Rachunek różniczkowy