0437

439

§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

Ważna jest tu dokładna znajomość przedziału zbieżności. Laplace pierwszy stwierdził, że szereg jest zbieżny dla £<0,6627...

4) Rozpatrzmy wreszcie równanie

> = *+■2-0’’-DC).

Rozwiązaniem tego równania, przyjmującym wartość x dla ot — 0, jest

v = *~1/ł-2ajc+a^ł ^    2x-a

*    1 + ^1 — 2;x.v + «²

Rozwinięcie tej funkcji w szereg według potęg a ma postać

y — -v+

2!

d{x'-\r    , w«y

dx    ' " n! \ 2 /

d-‘(xⁱ-ir ,

Zróżniczkujemy obie strony tej równości względem x (z analityczności y jako funkcji dwóch zmiennych «i x wnioskujemy, że szereg można różniczkować wyraz za wyrazem). Otrzymamy rozwinięcie

1    d(x²-1)

]/l~ 2txx+óc²

cix

+«²

2! 2²

rf²(.Y²-l)²

dx²

+ ... +*"

n\ 2"

dx"

+

którego współczynniki, co w tym przypadku od razu widać [porównaj 447, 8)], są wielomianami Legen-dre’a

_1__d"(x² — I)"

;/! 2" dx"

§ 5. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

453. Liczby zespolone. Chociaż nasz podręcznik jest całkowicie poświęcony zmiennej rzeczywistej i funkcjom rzeczywistym zmiennej rzeczywistej, w tym paragrafie odstąpimy od zasadniczej linii wykładu i będziemy się zajmowali elementarnymi funkcjami zmiennej zespolonej. Rozpatrywanie tych zagadnień nawiązuje do teorii szeregów potęgowych i z kolei rzuca nowe światło na niektóre punkty tej teorii. Prócz tego zapoznanie się z funkcjami zmiennej zespolonej jest korzystne dla analizy zmiennej rzeczywistej także pod względem rachunkowym (porównaj przykłady z ustępu 461 a także rozdział XIX z trzeciego tomu podręcznika, poświęconego szeregom Fouriera).

Zakładamy, że czytelnik zna już liczby zespolone z wykładu algebry. Dlatego też ograniczynr się tu do krótkiego przeglądu podstawowych własności tych liczb.

Liczba zespolona z ma postać z = x+yi, gdzie/jest jednostką urojoną: i = ^/—1, a x i y są liczbami rzeczywistymi. Pierwszą z nich x nazywamy częścią rzeczywistą, a drugą y częścią urojoną liczby r i oznaczamy w sposób następujący:

* = *(-), y = /(^).

Dwie liczby zespolone ,x+yi i x'+y'i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy x = x' i y — y'(²). Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych jest określone wzorami

(x+yi)+(x’+y'i) = (x+x')-F(j'+j'')/_>

(,x+yi)(x'+y'i) = {xx’-yy’)+(.xy'+x'y)i;

(‘) Tutąj x odgrywa rolę a, aa rolę x.

(²) Inaczej mówiąc tu także równość sprowadza się dla nas do zwykłej tożsamości [porównaj z 2],