0417

419

§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

Przyjmując, analogicznie jak w (4),

00    00

11*0    n—O

możemy poprzedni szereg przepisać w postaci

00    00

m—1    ««0

Ponieważ aj*° powstaje z |a₀|, |aj,..., \a„\ za pomocą operacji dodawania i mnożenia [445] tak samo jak a⁽B"° z a₀, a_lt, a_n, więc oczywiście |a^^m)| < Dlatego też szereg

m*l    i»*0

także jest zbieżny dla wspomnianych poprzednio wartości x. A więc do szeregu

h₀+ '^Th_m-(£a_nxⁿyⁿ = h₀+

łn*»l    ii*0    m* 1    n*«0

można zastosować ostatnie twierdzenie poprzedniego ustępu, co kończy dowód.

Obszar zmienności jc, w którym stwierdziliśmy naszym rozumowaniem możliwość rozwinięcia funkcji <p (/(*)) w szereg według potęg x, jest więc wyznaczony przez oczywistą nierówność |x| < R i dodatkowo przez nierówność (7). Dla R = + oo nie ma potrzeby wprowadzania pierwszego ograniczenia, a dla p = + oo drugiego.

Dla większości zastosowań twierdzenia wystarczy wiedzieć, że rozwinięcie zachodzi dla małych wartości |jc|. Gdy interesuje nas cały obszar stosowalności otrzymanego szeregu, to zagadnienie to wymaga dodatkowych badań.

Przeprowadzimy je w najprostszym przypadku. Rozpatrzmy funkcję

CD

<p (y) = £ **

n-0

w przedziale (—1, 1) (p = 1) i podstawimy za y funkcję /(jc) = 2x—x^{1 2} (R — +oo). Funkcja złożona

?(/(«»

1

(l-*)² ma tylko wtedy sens, gdy

— 1 < 2jc—x² < 1, tzn. 1—/2 < jc < 1+^2, lecz x ^ 1 . Jej rozwinięcie według potęg jc jest nam znane (‘)'

—i—= 1+2jc+3^+4jc³+ ... ;

(l-*)²

17*

1

O Patrz 390, 1). Można jc także otrzymać, różniczkując wyraz za wyrazem [438, 8°] postęp —— = \+x+x² + x³ + ...

2

—X