0421

423

§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

Rozwińmy teraz lewą i prawą stronę według potęg x [445, 446], Porównując współczynniki otrzymujemy

00

00

i    i _ i

2k* Zj n* 180 ’

1

skąd

90

Te same wzory otrzymamy zresztą później [449] z innych rozważań.

7) Jeżeli funkcję f(x) można w przedziale (—R, R) rozwinąć w szereg potęgowy (1) i x¹ jest dowolnym punktem tego przedziału, to w jego otoczeniu funkcję można rozwinąć w szereg według potęg x—x¹.

Rzeczywiście, podstawmy w (1) x = x¹+y. Na mocy ogólnego twierdzenia (zamieniając x i y rolami), gdy tylko będzie |x¹l + lylcR, czyli' |y|<R—|jr¹|, można już przejść do rozwinięcia według potęg y, to znaczy według potęg x—x¹\

A_ky^k = £ A_k(x-x¹)^k.

k«0    k-0

to

Wykonując wszystkie potęgowania w szeregu £ a, (x¹+y)’ i redukując wyrazy podobne, łatwo

U— l

można otrzymać także współczynniki tego rozwinięcia

Ao =^Yi^a" ^x1“ ⁼

n-0

i ogólnie

A_k

00

(n— 1) ... (w—A + l)

1-2-

■k

a¹x’

00

(n-1) ... (n—k+\) o„ x¹’~^k =

k\

Wynik ten z uwagi na 438, 9° nie jest niczym zaskakującym.

Jedynie dla uproszczenia zakładaliśmy, że szereg wyjściowy jest rozwinięty według potęg x, nic by się nie zmieniło, gdyby funkcja f(x) była rozwinięta według potęg różnicy x—x₀.

Przypominamy, że funkcję f(x), którą można w otoczeniu punktu x = x₀ rozwinąć według potęg x—Xo(^J) nazywamy analityczną h> tym punkcie. Udowodniliśmy więc, że funkcja analityczna w jakimi punkcie jest także analityczna w każdym punkcie pewnego jego otoczenia.

Twierdzenie to obejmuje także przypadek funkcji wielu zmiennych.

8) Jako ostatni przykład rozpatrzymy rozwinięcie funkcji

------'    = [1 +(«² —2x<x)]^_,/2

j/l — 2jr;x + (x²

według potęg ol, dla dowolnego ustalonego x. Możliwość takiego rozwinięcia jest zapewniona przez nasze twierdzenie, jeżeli tylko |a|²+2|x| • |«|<1. Łatwo można zauważyć, że współczynnikiem przy a" (n > 1) będzie pewien wielomian P, — P, (x) stopnia n, więc

(9)    —-——'¹    • = 1+Pl «+P2 <x²+ ... +P„«"+ ...

l^/l-2x<x+<x²

1

Wynik ten już znamy [patrz 440, 4)].

(²) Szereg ten oczywiście będzie szeregiem Taylora [438, 9].