0433

§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

435

a więc

ln(l+y) = y-jy*+ jJ'³- v>'⁴+ y-T⁵- —

Obszar zmienności y, w którym zagwarantowane jest istnienie funkcji odwrotnej i słuszność otrzymanego jej rozwinięcia, można ustalić rozumując jak w ustępie 450, lecz wówczas obszar ten jest zwykle zbyt zawężony. Gdy na przykład w pierwszym z przytoczonych przykładów, napiszemy równanie wiążące x i y w postaci (18):

i ograniczymy się do x i y spełniających nierówności W <    , \y\ < 1, tzn. przyjmiemy p = ~ , r = 1,

wówczas otrzymamy M — 1, a więc ze wzoru (24)

podczas gdy naprawdę obszarem, w którym można stosować otrzymane wyniki, jest przedział < —1, 1>!

Uwaga. Dobrze jest zdać sobie sprawę ze znaczenia warunku a_t ^ 0, przy którym spełniona jest teza powyższego twierdzenia. Niech a_t = 0, lecz a₂ # 0, powiedzmy a₂ > 0. A więc w pobliżu x = 0 (dla uproszczenia przyjmujemy x₀ = y₀ = 0) mamy

y - a₂ x² + fl₃x³+a₄ x⁴+ ...

więc y > 0. Oznaczając przez y¹¹² pierwiastek arytmetyczny otrzymamy

\j y =|/a₂x² + a₃x³ + a^x*+ ... = ±x^a₂

gdzie znak wybiera się tak, by pokrywał się ze znakiem x. Na mocy twierdzenia z ustępu 450 w pobliżu x = 0 ostatni pierwiastek jest sam szeregiem potęgowym z wyrazem wolnym równym 1. Tak więc, ostatecznie (gdy przeniesiemy podwójny znak na lewą stronę) będzie

±|!y = ai x+a₂ x²+ ...,

gdzie a₂ jest równe j/ac > 0. Korzystając z twierdzenia z tego ustępu (rolę y odgrywa wielkość ±|/y!) otrzymamy dwa różne rozwinięcia x w zależności od obranego znaku

= b₂ y^1,2 + b₂ y+b₂ y^3,2 + b_A y²+ ... >0    (*i = 1 !}/a₂ > 0)

x₂ = -b₂ y^ll2 + b₂ y—b₃ y^3/2 + b^y²- ... < 0 .

Zwracamy uwagę czytelnika na niejednoznaczność funkcji odwrotnej i na to, że każdą jej gałąź można rozwinąć już nie według całkowitych, lecz według ułamkowych potęg zmiennej y