0425

427

§4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

Wychodząc z zależności

(i₊jl + 4L+... ₊JL1 +

2!

3!

nl

-)(

. A r-L A-

A

1+ X+ -Bi- X²4- ... -f -£¹- X^m+ 1!    2!    nl

przyrównujemy do zera współczynniki przy różnych potęgach x" (n = 1, 2, 3, ...) po lewej stronie. Otrzymamy równania postaci

nl U

fim +

1

(»-!)! 2!

fim-l + ••• +

1__

(«—¹+!)! A:!

A-»+i +

1! #>!

fii +

_!_

(»+D!

= 0

lub po pomnożeniu przez (n+1)!:

(t¹) a+ Cs¹) A-.+ - + Cv)a+.-¹+ - + (^,+„‘) a+i - o-

Korzystając z podobieństwa do dwumianu Newtona, można te równania napisać symbolicznie w ten sposób:

(P+ir+^l-p^+l =0    («= 1,2,3, ...).

Po podniesieniu dwumianu do potęgi według znanej reguły i redukcji pierwszego wyrazu, należy zastąpić tu potęgi 0¹ przez współczynniki fi_k. A więc na obliczenie liczb fi, (n = 1,2, 3,...) otrzymamy nieskończony układ równań:

2A + 1=0, 3/S₂+3/Ji + 1 = 0, 4/J₃-ł-6/J₂+4/Si + l = 0, 5/S₄+lO/S₃ + lO0₂+SjJ, + l - 0, .... z których kolejno otrzymujemy:

fil	= -	1 2 ^1	fis = o,	A = o,	As = o,	fil 7 — 0 »
A	__ 1 6	>	ii <0	ii o		0 43867 P'^8 798 ’
fi^1	= 0,		A- 0.	fiu — 0»	As = o,	e II O
fi^1	s —	1 30 ^1		A ^Pl1 “ “ano ’	a _ 36^17 510	0 174611 Ao 330 »

Ponieważ liczby fi otrzymujemy z równań liniowych o współczynnikach całkowitych, to wszystkie one są liczbami wymiernymi. Łatwo można ustalić ogólnie, że liczby fi ze wskaźnikiem nieparzystym (o-prócz pierwszego) są zerami. Rzeczywiście, przenosząc w równości (12) wyraz — xjl na lewą stronę otrzymujemy oczywiście po lewej stronie funkcję parzystą

x    e¹+l ₌ x e^1/2+e~^x/2 ₌ x__ctghiL

e¹—l 2    2 e¹-l 2 ■ e¹i¹~_e~¹i¹    2    2 ‘

A więc jej rozwinięcie

00

N-2

nie może zawierać potęg nieparzystych x, c. b. d. o.

Dla liczb fi o wskaźnikach parzystych podamy częściej używane oznaczenie przyjmując

&. = <-! )-‘2».(‘),

więc

fil =	1 6 ’	fis =	1 42 ’	fis =	5 66 ’	fi7 = f	II oa	43867 798 ’
be K> II	ló^-’	II	1 30 ’	£ 1!	691 2730 ’	n 3617 *• ~ liT ’	u o tS	174611 330

1

Wkrótce przekonamy się, że wszystkie B, są dodatnie.