0423

§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

425

równość

ax	■ i i • x + —	•|x|^2+ ... +	an
<io	|«0		«0

Rozpatrzmy drugi szereg potęgowy

b₀ + bix + b₂x²+ ... + b_nxⁿ+ ... o promieniu zbieżności różnym od 0. Wtedy iloraz

bp + bj x + ... +b_n x”+ ... c/o + a, x+ ... +a_nxⁿ+ ...

można dla dostatecznie małych x zastąpić przez iloczyn

(b₀ + b [X+ ... +b„xⁿ+ ...)(c₀ + c₁x+ ... +c_nxⁿ+ ...), a więc można go przedstawić w postaci pewnego szeregu potęgowego

dp + di x + d₂ x²+ ... +d_nx"+ ...

Współczynniki tego szeregu najłatwiej wyznaczyć metodą współczynników nieoznaczonych biorąc za punkt wyjścia zależność

(ao + ai x+ ... +a„x"+ ...)(dp + di x+ ... +d_nx”+ ...) = b₀ + bi x + ... +b_nx”+ ...,

w której współczynniki a i b uważamy za znane. Pomnożymy szeregi po lewej stronie przez siebie według ogólnej reguły [445], a następnie porównamy współczynniki przy jednakowych potęgach x po lewej i po prawej stronie. Otrzymamy tą drogą nieskończony układ równań:

(10) a₀ d₀ = bp, Op r/j dp = b_lt q₀ d₂-ł-tti di-ł-a₂ d₀ = b₂,

a₀ d„+at d„~₂ + ... +a„-i +a_n dp = b„ .

Ponieważ założyliśmy, że współczynnik a₀ jest różny od 0, więc z pierwszego równania

otrzymamy od razu d₀ =    , a potem z drugiego d_{ = ~^fll = -° ~^fll itd.

ap    a₀    a₀

Ogólnie, gdy już znaleźliśmy n współczynników dp, d_t, ... , d_n-_x to z (n-fl)-szego równania zawierającą jedną niewiadomą d„ można obliczyć jej wartość. W ten sposób otrzymujemy kolejno z równań (10) wszystkie współczynniki ilorazu i przy tym w sposób jednoznaczny.

Przykłady

1) Obliczyć kilka pierwszych wyrazów ilorazu

x_______ _ _x_____1^

Równania (10) mają w tym przypadku postać:

do = 1, dt + d- do = 0,    d₂-\- d_t + -i d₀ = 0, d₂ + d₂ + d- d, + d- do = 0 ,

2    2    3    2    3    4

itd., skąd d₀ = 1, d_t = - ~ , d₂ «= - ~, d³ = - ~ ,...