0431

433

§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

otrzymujemy (przyjmując |x| < r)

p² r

^J 2(p+~M) L

v~-

4 M (p + M)

r—x

(')

Jeżeli dla uproszczenia wzoru wprowadzimy oznaczenie

to wzór na y możemy napisać w postaci

-*s4-Kr(-fn

Stąd widać już, że gdy skorzystamy z szeregu dwumiennego, wyrażenie to można rozwinąć według potęg x dla |x| < r_t < r. Ponieważ wspomniane rozwinięcie musi być identyczne z (19*), więc na tym kończymy dowód zbieżności szeregu (19*) przynajmniej dla |x| < r,, a więc i zbieżności szeregu (19).

Należy zauważyć, że twierdzenie ustala tylko możliwość rozwinięcia y według potęg x (lub w przypadku ogólnym, według potęg x—x₀) w pobliżu x = 0 (x = x₀). Dokładne wyznaczenie przedziału zbieżności wymaga specjalnych badań.

W podobny sposób można potraktować także przypadek ogólny, gdy układ funkcji otrzymujemy z układu równań.

Piękna metoda rozumowania, zastosowana powyżej pochodzi od Cauchy’ego. W istocie polega ona na zamianie danych szeregów potęgowych jednej lub kilku zmiennych przez, bardziej wygodne do badań, majoranty, które mają wszystkie współczynniki dodatnie i odpowiednio większe od wartości bezwzględnych współczynników wyjściowych. W związku z tym sama metoda została nazwana metodą majoratu. Często korzystamy z niej w teorii równań różniczkowych.

451. Odwrócenie szeregu potęgowego. Jako szczególny przypadek rozwiązanego wyżej zagadnienia rozpatrzmy teraz zadanie odwrócenia szeregu potęgowego. Niech funkcja v = /(x) da się w pewnym otoczeniu punktu x = x₀ przedstawić w postaci szeregu ustawionego według potęg x—x₀. Oznaczając wyraz wolny (wartość y dla x = x₀) przez y₀, napiszemy to rozwinięcie w postaci

y - y₀ = oi(x — x₀) + a₂(x — x₀)² + ... +a₁,(x-jCo)ⁿ+ •••

Jeżeli a _t ^ 0, to x da się stąd wyznaczyć w otoczeniu y = y₀ juko funkcja y, która z kolei daje się rozwinąć w szereg według potęg y—y₀-

Tak więc, jeżeli y jest w punkcie x₀ funkcją analityczną zmiennej x, to funkcja odwrotna też będzie analityczna w odpowiednim punkcie y₀ (przy podanych warunkach).

(') Znak minus przed pierwiastkiem został postawiony w tym celu, żeby dla x = 0 było y = 0.

9ft naobimalr fó4w(nvVnurv