0415

417

§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

po podstawieniu i zmianie porządku sumowania

/,(*) = jl ^ (_    ₌(~ iyx^u - - y¹, (- i)"g°³*^łi^^ł" •

M=»0    MO

Ponieważ szereg iterowany

Zj ml Z-i    Z_i ml 1 —a^2mx²    1—x²

»<- O    n=0

jest zbieżny, więc uzasadnione jest przestawienie sumowań, (b) Analogicznie

Mx) -    (-l)V-“²"^,,jr²".

R«0

2) Wychodząc z rozkładu funkcji x ctg x na ułamki proste [441, 9)] przedstawimy ją teraz w postaci szeregu potęgowego. Dla uproszczenia zastąpimy x przez nx:

CC

7ijr-ctg7c-c = 1 —2 >    —.

#ir—jc²

m- !

Jeżeli |jt| < 1, to dla dowolnego m — 1, 2, 3,... jest

x² ₌    x²/m²    _    / x² \*

m²— x² 1—x²/#»i²    2-a \ m² /

Ra 1

Z uwagi na dodatniość wszystkich wyrazów otrzymujemy od razu zgodnie z twierdzeniem:

co    oo    co

^gdzic

Mail    1    M»1

Tak więc dla jx|<l mamy

00

7tX Ctg 7TX = 1 — 2 ^    X²" .

n*i 1

3) Zupełnie analogicznie, wychodząc z rozkładu funkcji x ctgh x na ułamki proste [431,10)], otrzy' mujemy rozwinięcie w szereg potęgowy

7CXCtgh 7TX = 1+2 ^ (— 1)*^-1J2, X²"    (|x| < 1) .

R*1

Później, w ustępie 449 podamy także inny sposób przedstawienia współczynników rozwinięć 1) i 2).

4) Twierdzenie zachowuje swoje znaczenie także i w tym przypadku, gdy dodawane w nieskończone ilości szeregi redukują się do zwykłych wielomianów skończonych. Wyprowadźmy dla przykładu szereg logarytmiczny wychodząc z szeregów dwumiennego i wykładniczego za pomocą następującego rozumowania.

Dla lx| < 1 i dowolnego <x, mamy [407, (22)]

(1 +x)* = l+otx+    x»+    ₊ ...

1-2    1-2-3

Ustalając x, będziemy rozpatrywali wyrazy tego szeregu jako wielomiany całkowite względem et. Ponieważ szereg

1 _{+ W}._W+JgLM+1). |x|²+ >l(N + l)(W+2) _w.₊ ...

27 Rachunek różniczkowy