421
§4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych
Postać kilku pierwszych współczynników otrzymujemy od razu. Ogólną postać współczynnika przy x" można otrzymać za pomocą następujących rozważań. Bezpośrednio widać, że jest to wielomian Q.(ot)
stopnia n, względem «, o współczynnikach całkowitych. Ponieważ dla « = 0,1, 2.....n—lw rozwinięciu
nie wystąpi wyraz z x’, więc w tych punktach wielomian jest równy 0, a zatem ma postać
Q,(<x) = ca (a-l) ... (a-ff+1) .
Dla x = n współczynnik przy jc" jest równy 1, Qn(n) — 1, skąd c = 1/n! i ostatecznie
1 ... -n
3) Niech f(x) będzie pewną funkcją, której rozwinięcie w szereg według potęg x nie zawiera wyrazi, wolnego:
f(x) = a, x+a2 x2+a3 x3+ ... +0.0*+ ... ,
wtedy, jak wynika z ogólnego twierdzenia, funkcję g (x) = e/(*’także można rozwinąć w szereg dla tych samych x i wyraz wolny jest oczywiście równy 1. Należy znaleźć to właśnie rozwinięcie.
Pokażemy, jak zastosować w tym celu metodę współczynników nieoznaczonych. Niech
g (jr) = ef,x) = 1+6, x + b2 x2 + 63 xs + ... + 6„ *” + ...
Różniczkując tę równość, otrzymujemy
eUx)f'(x) = 6,+262 x+ibs x2+ ... +nbnx,~'+ ... lub, podstawiając zamiast czynników po lewej stronie ich rozwinięcia,
(1+6, x+b2 x2+b3 x2+ ...) (at + 2o2*+3fl3 x2+ ...) = 6,+262 x+3b3 x2+ ...
Warunek ten prowadzi do takiego układu równań:
(8) o, = 6,, 2a2 + o, 6, = 2b2, 3a3 + 2a2b2 + al b2 — 363,
.... no„ + (/i—1) a„-, 6,+ ...+2a2 6n-2 + ai 6„_j => «6,-i, ...,
z którego wyznaczamy po kolei niewiadome współczynniki 6.
Dla przykładu zastosujemy tę metodę do rozwiązania następującego zadania (Weierstrass): Udowodnić, że rozwinięcie funkcji
X
2 +
g(x) = (l-x)e‘
w szereg zaczyna się od wyrazów 1 — xm/m-i- ... i że wszystkie jego współczynniki są co do bezwzględnej wartości mniejsze od jedności.
Przedstawmy g {x) w postaci
m+-1
<7 W = e
wtedy pierwsza część twierdzenia jest oczywista. Drugą część udowodnimy metodą indukcji. Przypuśćmy, że wszystkie współczynniki bt ze wskaźnikami mniejszymi niż n są co do bezwzględnej wartości mniejsze od jedności. Ponieważ w danym przypadku
aK =■ O dla k < m
ak=—— (kak = — 1) dla k
k > m,
więc w n-tej równości (8) otrzymamy, że także |ó„| < 1.
Proponujemy zastosować podaną tu metodę do przykładów 1) i 2).
4) Te same równania (8) mogą się przydać także do innego zagadnienia. Niech będzie dane rozwinięcie funkcji
g (jr) = 1+6, *+62 JC2 + 63 x3+ ... +6„ x"+ ....