0419

0419



421


§4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

Postać kilku pierwszych współczynników otrzymujemy od razu. Ogólną postać współczynnika przy x" można otrzymać za pomocą następujących rozważań. Bezpośrednio widać, że jest to wielomian Q.(ot)

stopnia n, względem «, o współczynnikach całkowitych. Ponieważ dla « = 0,1, 2.....n—lw rozwinięciu

nie wystąpi wyraz z x’, więc w tych punktach wielomian jest równy 0, a zatem ma postać

Q,(<x) = ca (a-l) ... (a-ff+1) .

Dla x = n współczynnik przy jc" jest równy 1, Qn(n) — 1, skąd c = 1/n! i ostatecznie

e.(a) ,

1    ... -n

3) Niech f(x) będzie pewną funkcją, której rozwinięcie w szereg według potęg x nie zawiera wyrazi, wolnego:

f(x) = a, x+a2 x2+a3 x3+ ... +0.0*+ ... ,

wtedy, jak wynika z ogólnego twierdzenia, funkcję g (x) = e/(*’także można rozwinąć w szereg dla tych samych x i wyraz wolny jest oczywiście równy 1. Należy znaleźć to właśnie rozwinięcie.

Pokażemy, jak zastosować w tym celu metodę współczynników nieoznaczonych. Niech

g (jr) = ef,x) = 1+6, x + b2 x2 + 63 xs + ... + 6„ *” + ...

Różniczkując tę równość, otrzymujemy

eUx)f'(x) = 6,+262 x+ibs x2+ ... +nbnx,~'+ ... lub, podstawiając zamiast czynników po lewej stronie ich rozwinięcia,

(1+6, x+b2 x2+b3 x2+ ...) (at + 2o2*+3fl3 x2+ ...) = 6,+262 x+3b3 x2+ ...

Warunek ten prowadzi do takiego układu równań:

(8) o, = 6,,    2a2 + o, 6, = 2b2,    3a3 + 2a2b2 + al b2 363,

.... no„ + (/i—1) a„-, 6,+ ...+2a2 6n-2 + ai 6„_j => «6,-i,    ...,

z którego wyznaczamy po kolei niewiadome współczynniki 6.

Dla przykładu zastosujemy tę metodę do rozwiązania następującego zadania (Weierstrass): Udowodnić, że rozwinięcie funkcji

X

2 +


g(x) = (l-x)e‘

w szereg zaczyna się od wyrazów 1 — xm/m-i- ... i że wszystkie jego współczynniki są co do bezwzględnej wartości mniejsze od jedności.

Przedstawmy g {x) w postaci

m+-1


<7 W = e

wtedy pierwsza część twierdzenia jest oczywista. Drugą część udowodnimy metodą indukcji. Przypuśćmy, że wszystkie współczynniki bt ze wskaźnikami mniejszymi niż n są co do bezwzględnej wartości mniejsze od jedności. Ponieważ w danym przypadku

aK =■ O dla k < m


ak=—— (kak = — 1) dla k


k > m,


więc w n-tej równości (8) otrzymamy, że także |ó„| < 1.

Proponujemy zastosować podaną tu metodę do przykładów 1) i 2).

4) Te same równania (8) mogą się przydać także do innego zagadnienia. Niech będzie dane rozwinięcie funkcji

g (jr) = 1+6, *+62 JC2 + 63 x3+ ... +6„ x"+ ....


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
427 §4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych Wychodząc z zależności(i+jl + 4L+... +JL1
417 § 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych po podstawieniu i zmianie porządku sumowania/,(
419 § 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych Przyjmując, analogicznie jak w (4), 00
423 § 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych Rozwińmy teraz lewą i prawą stronę według potęg
§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych 425 równość ax ■ i i • x + — •
429 § 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych stronie nie może być zbieżny dla .v = ±7t i tym
431 $ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych Szeregu określającego y jako funkcję x będziemy
433 § 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych otrzymujemy (przyjmując
§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych 435 a więc ln(l+y) = y-jy*+ jJ 3- v> 4+ y-T5-
437 § 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych Podstawiając to do poprzedniej równości
439 § 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych Ważna jest tu dokładna znajomość przedziału
Szeregi potęgowe 12)    Szeregiem potęgowym o środku w Xq€ i i współczynnikach an e i
str035 (5) > 35 §4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH WZORY EULERA 4.    Wsk
42 WSZECHS W I AT modrzew polski, a poza tym sosna, jodła, dąb, buk, lipa zaś już tylko w postaci ki
IMG93 (10) 1)    Wyprowadzić rozwinięcie funkcji -r w szereg potęgowy +x wraz z poda
matma zestaw 1) Otrzymać rozwinięcie funkcji /(x) = -—=-dt w szereg 0 v <t potęgowy. Podać jego d

więcej podobnych podstron