0419

421

§4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

Postać kilku pierwszych współczynników otrzymujemy od razu. Ogólną postać współczynnika przy x" można otrzymać za pomocą następujących rozważań. Bezpośrednio widać, że jest to wielomian Q.(ot)

stopnia n, względem «, o współczynnikach całkowitych. Ponieważ dla « = 0,1, 2.....n—lw rozwinięciu

nie wystąpi wyraz z x’, więc w tych punktach wielomian jest równy 0, a zatem ma postać

Q,(<x) = ca (a-l) ... (a-ff+1) .

Dla x = n współczynnik przy jc" jest równy 1, Q_n(n) — 1, skąd c = 1/n! i ostatecznie

_e._(a) ,

1    ... -n

3) Niech f(x) będzie pewną funkcją, której rozwinięcie w szereg według potęg x nie zawiera wyrazi, wolnego:

f(x) = a, x+a₂ x²+a₃ x³+ ... +0.0*+ ... ,

wtedy, jak wynika z ogólnego twierdzenia, funkcję g (x) = e^/(*’także można rozwinąć w szereg dla tych samych x i wyraz wolny jest oczywiście równy 1. Należy znaleźć to właśnie rozwinięcie.

Pokażemy, jak zastosować w tym celu metodę współczynników nieoznaczonych. Niech

g (jr) = e^f,x) = 1+6, x + b₂ x² + 6₃ x^s + ... + 6„ *” + ...

Różniczkując tę równość, otrzymujemy

e^Ux)f'(x) = 6,+26₂ x+ib_s x²+ ... +nb_nx^,~'+ ... lub, podstawiając zamiast czynników po lewej stronie ich rozwinięcia,

(1+6, x+b₂ x²+b₃ x²+ ...) (at + 2o₂*+3fl₃ x²+ ...) = 6,+26₂ x+3b₃ x²+ ...

Warunek ten prowadzi do takiego układu równań:

(8) o, = 6,,    2a₂ + o, 6, = 2b₂,    3a₃ + 2a₂b₂ + a_l b₂ — 36₃,

.... no„ + (/i—1) a„-, 6,+ ...+2a₂ 6_n-2 + ai 6„_j => «6,-i,    ...,

z którego wyznaczamy po kolei niewiadome współczynniki 6.

Dla przykładu zastosujemy tę metodę do rozwiązania następującego zadania (Weierstrass): Udowodnić, że rozwinięcie funkcji

X

2 ⁺

g(x) = (l-x)e‘

w szereg zaczyna się od wyrazów 1 — x^m/m-i- ... i że wszystkie jego współczynniki są co do bezwzględnej wartości mniejsze od jedności.

Przedstawmy g {x) w postaci

m+-1

<7 W = e

wtedy pierwsza część twierdzenia jest oczywista. Drugą część udowodnimy metodą indukcji. Przypuśćmy, że wszystkie współczynniki b_t ze wskaźnikami mniejszymi niż n są co do bezwzględnej wartości mniejsze od jedności. Ponieważ w danym przypadku

a_K =■ O dla k < m

a_k=—— (ka_k = — 1) dla k

k > m,

więc w n-tej równości (8) otrzymamy, że także |ó„| < 1.

Proponujemy zastosować podaną tu metodę do przykładów 1) i 2).

4) Te same równania (8) mogą się przydać także do innego zagadnienia. Niech będzie dane rozwinięcie funkcji

g (jr) = 1+6, *+62 JC² + 63 x³+ ... +6„ x"+ ....