3582320334

Szeregi potęgowe

12)    Szeregiem potęgowym o środku w Xq€ i i współczynnikach a_n e i ,(0 = 0,1,2...)

oc    w

nazywamy szereg postaci: ^^an(^{x — x}o)ⁿ>^xe ' , gdy *b=0: ^^an^x” •

n=0    n=0

Zbieżność:

oo    oo

a)    ^^Qn^x " - zbieżny => ^^an^x" - zbieżny bezwzględnie dla | ^x |^|    |

u=0    n=0

oo    oo

b)    ^ I ^an^x ” I -zbieżny => ^ ^an^x" - jednostajnie zbieżny dla [— | ^x* U •** |]

n=0    n=0

oo

R := sup{| x* |/Y.a_nx*ⁿ — zbieżny}

n=0

oo

c)    a=>c y^.^an^x" -zbieżnybezwzględnie na f-R,R)

n=0

oo

d)    c=»d ^a_nxⁿ - zbieżny jednostajnie na każdym przedziale [-r,r], r<R

n=0

R- promień zbieżności szeregu (-R.R)- przedział zbieżności szeregu

13)    Wyrażenie promienia zbieżności przez wspókzynniki:

PC

Mamy szereg ^ a_nx" , bierzemy dowolny x e (-R, R), stosujemy kryterium Cauchyego:

n=0

limsup-p/| a xⁿ \ < 1/ = 1/ >l(zb l ?/ rozb)

X—)oo    ^V

14)    Twierdzenie Cauchy’ego- Hadamarda:

1)Obszar zbieżności szeregu potęgowego jest przedziałem (-R,R) z włączeniem lub wyłączeniem końców. Wewnątrz przedziału szereg jest zbieżny bezwzględnie. Ponad to na każdym z przedziałów [-r,r], r<R szereg ten jest zbieżny jednostajnie. Dla szeregów typu

oo

^ a_n (x — *o )ⁿ twierdzenia te są prawdziwe dla przedziałów: (^o ~    + R) a [x^, — r, Xg + r].

n=G

15)    Ciągłość sumy szeregu potęgowego, (patrz 16)

1