0314

316

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Szereg ten ma postać (1), a współczynniki —

(7)

flo = /(O),

0i =

/'(O)

1!

a ₂ =

/"(O)

2!

U„ — —    ■    ... ,

nl

Napiszemy teraz szczegółowo resztę r„(x) dla szczególnego przypadku x₀ = 0 [126] w postaci Lagrange'a

(8)    - Z'"'IM

(» + !)!

i w postaci Cauchy'ego

(9)

r,(x) =

f^{U, +} '\9x) _n _gy_xn + l nl

O czynniku 0 wiadomo tylko tyle, że jest on zawarty między 0 a 1, może się jednak zmieniać przy zmianie x lub n, a także przy przejściu od jednego wzoru do drugiego. Przejdźmy do konkretnych rozwinięć.

404. Rozwinięcie w szereg funkcji wykładniczej, funkcji trygonometrycznych i innych.

Udowodnimy najpierw następujące proste twierdzenie, które obejmuje od razu kilka ważnych przypadków.

Jeżeli funkcja f (a^-) ma w przedziale <0, //> lub < —//, 0) (// > 0) pochodne wszystkich rzędów i wszystkie te pochodne są dla x z tego przedziału wspólnie ograniczone co do wartości bezwzględnej jedną i tą samą liczbą:

(10)    |/^(B,(x)| < L , gdzie L nie zależy od n, w całym tym przedziale jest słuszne rozwinięcie (6).

Rzeczywiście, jeżeli weźmiemy resztę r,(jr) w postaci Lagrange'a [patrz (8)], to będziemy mieli na mocy (10)

k,(*)l =

|x|"⁺¹ < L

|/‘"+^,>(0x)|

(« + !)!

(«+D! ‘

Gdy n rośnie nieograniczenie, wyrażenie H"⁺ⁱftn+ 1)! dąży do 0, jak to widzieliśmy w 35.1); zresztą to samo wynika [wobec 364.5°] ze zbieżności szeregu

oc

^l-E

H-+i

(n+1)!

[370, 2) (a)]. Ale w takim razie także r„(x) ma granicę równą zeru, co dowodzi naszej tezy. (a) Twierdzenie to da się zastosować do funkcji

/ (x) = e^x, sin x, cos x

w dowolnym przedziale <-//, //>, gdyż ich pochodne, równe odpowiednio

= e*,    sin (x + n ■ ~ n),    cos (x + n ■ y n)