0318

320

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

które można napisać w postaci

(„₊|),„(,+ !). ₁ + |.

1

1

(2« + l)*    5    (2/«+1)⁴

Wyrażenie to jest oczywiście większe od jedności, ale mniejsze od

+ ...

(n+1)

1 I 1 [ I    i    1    ,    1 _{= 1+}_1

3 [_ (2n+1)²    (2//+1)⁴ "J 12n (/

Mamy więc

1 < (n + —] ln fu--) < 1+    ■■■■,

V 2/    \ n)    12n (n+1)

skąd otrzymujemy

e <

HF

< e

Wprowadźmy teraz ciąg o wyrazach <r„ =

n!e" n"^+,/*

. Wówczas

H)‘

a.+t

i z poprzednich nierówności wynika, że

1 <

o.+1    e^Ł

zatem z jednej strony a„>a„_+i, a z drugiej strony,

< a.+i• e^-1/12<"^+1>.

Tak więc ciąg {a„} maleje, gdy n rośnie, pozostając przy tym ograniczony z dołu (na przykład przez zero) i dąży do skończonej granicy a, ciąg zaś o wyrazach    rośnie i dąży oczywiście do tej samej

granicy a, bo przecież    -*■ 1. Ponieważ dla dowolnego n spełnione są nierówności

a,-e

< a < a,,

znajdzie się zatem taka liczba 0 zawarta między zerem a jednością, że będzie

a = a,-e~^Bnl\ czyli a. = a-e^9nl".

(Zauważmy, że liczba 0 zależy na ogół od ri). Uwzględniając definicję a„, otrzymujemy

(21)

n! = a/n •    e^#/12"    (0 < 0 < 1).

Pozostaje teraz jeszcze wyznaczyć stałą a. W tym celu przypomnijmy sobie wzór Wallisa [317], który można napisać w postaci