str035 (5)

>

35

§4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH WZORY EULERA

4.    Wskazówka: por. zad. 4.4:

a)    ln(— /) = yfti4-2kni, k = 0, +1, ±2, ..., Ln(—i) = -fit/,

b)    ln(— 1 -/') = In^Jl + Ąn+lknU k = 0, ±1, ±2, ..., Ln(-1 -/) = ln^+ilrt,

c)    ln(l —i) = InJl+Ąn+lkm, k = 0, ±1, ±2, .... Ln(l —i) = ]nf2+iin,

e²    /3

5.    a) Rez = —, Imz = —--e², b) Rez = -1, Im z = 0, c) Rez = —2,

Im z = 0, d) Rez. = 0, Imz =

, e) Rez == 0, Imz = 3, f) Rez = cos2coshl,

Imz = — sin2 sinhl.

6. Wskazówka: zastosować wzory Eulera (4.8), na przykład

.    .    e^-2 + e² e⁴ + l e² 1 e²

|cos2i] =    —    i—2+^>_T>L

§ 5. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej

Definicja 1. Pochodną funkcji w = /(z) w punkcie z₀ nazywamy granicę skończoną (o ile istnieje) następującego wyrażenia:

Aw f(z₀+Az)-f(z₀)

Az    Az

przy założeniu, że przyrost zmiennej niezależnej Az dąży do zera przez dowolne wartości zespolone Az — Ax+iAy 0. Pochodną funkcji /(z) w punkcie z₀ oznaczamy symbolem

lub

df(z o) dz ’

lub

dw

dz

Mamy więc

lim

Az-* 0

/(z₀ + dz)-/(z₀) Az

= /'(z₀).

Definicja ta jest formalnie zupełnie identyczna z definicją pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej, różnica polega jedynie na tym, że przyrost Az, dążąc do zera, może przebiegać dowolne wartości zespolone. Ponieważ definicja pochodnej funkcji /(z) jest formalnie identyczna z definicją pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej, więc w ten sam sposób dowodzi się reguł formalnego różniczkowania. Słuszne są więc twierdzenia: o pochodnej sumy, różnicy iloczynu i ilorazu, funkcji złożonej i odwrotnej przy założeniu, że odpowiednie funkcje są różniczkowalne.

Słuszne jest również twierdzenie, że funkcja różniczkowalna w punkcie z₀ jest ciągła w tym punkcie.

Twierdzenie 1 (warunek konieczny różniczkowalności). Jeśli funkcja

(5.1)    /(z) = u (x, y)+w (x, y)

mu w punkcie z = x + iy pochodną, to

3*