str031 (5)

§ 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 31

Zadanie 4.3. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczby cos(l — /).

Rozwiązanie. Stosując pierwszy z wzorów (4.8), w którym z zastępujemy przez (1—i), mamy

cos (1 — i) =

czyli

(1)

cos(l — i) =

ee‘+e~^le ¹

Stosując do prawej strony (1) wzór (4.7), mamy

e(cos 1 +isin l) + e^_1 [cos( —l)+isin(—1)]

cos(l —i) = --—

2

c(cos 1 + i sin l) + e^_1 (cos 1 — / sin 1)

⁼ 2

e+e~^l    e+e^-1 .

=-cos 1 + i-sini.

2 2

Wobec tego część rzeczywista i urojona wynoszą odpowiednio

Re (cos (1 — /))

e + e

cos 1,

Im (cos (1 — i)) = —~— sin 1.

Zadanie 4.4. Obliczyć:

a) ln(— 1) oraz Ln(—1), b) lni oraz Ln/, c) ln(l+/) oraz Ln(l+/). Rozwiązanie, a) Przyjmijmy

(1) 2 — 1.

Obliczamy teraz moduł r oraz argument główny 0_o liczby (—1). Mamy kolejno a = — 1,

b = 0
(2)	r = V a^2 + b^2 = V(-l)^2+0^2 = 1,
	a — 1 b 0 cos 0 = — = — = —1, sin0 = — = — r 1 . . r 1
skąd
(3)	II O

Biorąc pod uwagę wzory (2) i (3) oraz stosując wzory (4.13) i (4.14), mamy odpowiednio ln( — 1) = lnl + iłt+2fcjri = rci(l + 2/c), k — 0, ±1, ±2, ...,

(4)    Ln(—1) = lnl+itt = ni.