str033 (5)

§ 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 33

nej (5). Mamy kolejno <7 = 0, - = 1.

otrzymujemy w rozważanym

±1, ±2, ....

polonej (10). Mamy kolejno

(4.14), otrzymujemy w roz-

> ±2,...,

przewodnika określona jest

/.

nia prądu rozdzielimy naj-

r).

Z wzorów Eulera (4.7) i (4.8) wynikają następujące związki:

(3)    cosh iy = cosy, sinh iy = i siny.

Wprowadzając zależności (3) do wzoru (2), otrzymujemy następującą zależność:

g (z) = A (sinh x cosy+i cosh x siny),

a stąd mamy moduł

(4)    \g (z)| = A Vsinh² x cos²y + cosh² x sin²y.

Fazę <p gęstości prądu określa wzór

cp = Argg(z).

Zatem mamy

sinh x cos y

cos <p =

(5)

sin (p =

V    sinh²x cos²y + cosh ²x sin ²y

cosh x siny

V    sinh²x cos²y+cosh²x sin²y

Zależności (4) i (5) określają rozkład w przekroju S modułu gęstości natężenia prądu oraz fazy.

Zadanie 4.6. Potencjał zespolony układu dwóch równoimiennych ładunków elektrycznych punktowych +q i —q i położonych odpowiednio w punktach z_l i z₂ wynosi

w (z) — 2qiLn

z-z₂

Z —Zj

Wyznaczyć potencjał V(x, y) rozważanego płaskiego pola elektrostatycznego wiedząc, że

V (x, y) = Im w (z).

Rozwiązanie.

'z—z₂

(1)

V (x, y) = Im w (z) = 2q ln

Wyznaczamy obecnie moduł ilorazu

z —z,

Z —Zi

z—z,

Z — z2		x-x2 + i(y-y2)	/(*-x2)^2+(y-y2)^2
z—zx		x-x1 + i(y-y1)	V(x-x1)^2 + (y-y1)^2

Po uwzględnieniu powyższej zależności w wyrażeniu (1) otrzymujemy wzór określający potencjał V(x, y) płaskiego pola elektrycznego

(x-x₂)²+(y-y₂)²

V(x,y) = q\n

(x-x,)²+(y-y₁)²

3 — Wybrane działy matematyki...