76644 str029 (5)

5 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 29

Stąd natychmiast

1(2-0"

2 — 1

I2-/T

n²(l + 0"l    |ii²||l + f|"    «²|1 + /|"’

Vki = „-

(2)

\z-i\    \z-i\    \z-i\

\jn² |l + i| (yjn)² 11 + i|    (\/«)²V2

Przechodząc we wzorze (2) do granicy przy n-+ao mamy

lim %/jłFnj = —j=-,    bo lim %/« = !•

n-» oo    y 2    ⁿ~* co

Zgodnie z kryterium Cauchy’ego szereg nasz jest więc zbieżny dla

2 /

V2

<1, czyli |z — i| < _v^;2,

a rozbieżny dla

-j^-> 1, czyli    |z — i|> yj2.

V2

Wobec tego promień zbieżności r badanego szeregu wynosi r = _v'2 i szereg jest zbieżny w kole o środku w punkcie z — i i promieniu _>/2.

b) W celu znalezienia promienia zbieżności szeregu b) przyjmijmy

(3)

W. = wiz*.

Zastępując w równości (3) /i przez (n+ 1), mamy

(4)    ^₊₁=(n + l)!z"⁺¹.

Stąd natychmiast

(n + l)l|z|"^+I

(5)

Wn+1		(« + l)!z"^+1
Wn		n\z"

n!|z|"

= (n+l)|z|.

Przechodząc we wzorze (5) do granicy przy n->co, mamy

W„+_x\ joo>l    dla    z ^ 0,

{ 0< 1    dla    z = 0.

lim

n-+oo

W_H

Zgodnie z kryterium d’Alemberta szereg badany jest zbieżny tylko w punkcie z = 0. Wobec tego promień zbieżności r = 0.

c) W celu znalezienia promienia zbieżności szeregu c) przyjmijmy

n\

(6)