§ 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 27
v = 1 /zlinię C, leżącą w płasz-= 1?
Promieniem zbieżności szeregu potęgowego (4.1) nazywamy liczbę r> 0 tak dobraną, że dla \z—z0\<r szereg (4.1) jest zbieżny, a dla |z—z0|>r— rozbieżny. Innymi słowy, jeżeli r>0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego (4.1), to
(4.3) \z-z0\<r
x>\
—2xy
x+2y1-2x1+2x1yi‘
o li równobocznej, dla a = 0
, dla a = 0 równanie osi Oy,
.A gdy a # 1. Gdy 1-a /
7zory Eulera
szereg następującej postaci: * Z <*n(z-Zo)n>
H = 0
•lone.
przedstawia największe koło o środku w punkcie z0 i promieniu r, wewnątrz którego szereg ten jest zbieżny.
Uzupełnienie definicji promienia zbieżności. Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny na całej płaszczyźnie, to przyjmujemy, że jego promień zbieżności r = co, a gdy jest on zbieżny tylko w środku z0, to przyjmujemy r = 0.
Dla wyznaczenia promienia zbieżności szeregu potęgowego mogą być z powodzeniem stosowane kryteria d’Alemberta 1.2 lub Cauchy’ego 1.3 (por. § 1).
Twierdzenie 1 (Abela). Jeżeli szereg potęgowy (4.1) jest zbieżny w pewnym punkcie Zj#0, to jest bezwzględnie zbieżny w kole \z—z0\<q, gdzie e = |zi_zol oraz jednostajnie zbieżny w każdym kole domkniętym |z —z0| <,0q, gdzie O<0<1.
Funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej nazywamy funkcję ez określoną szeregiem potęgowym
(4.4)
CO
.+
Funkcje trygonometryczne sinz oraz cosz dla z zespolonych określamy odpowiednio szeregami potęgowymi
(4.5)
oraz
(4.6)
n = 0
_2« 2 4 6
Z Z Z Z
(2/0! = 1 _ 2l+ 44 ~ bT + "■
co
n = 0
Między funkcją wykładniczą e1 oraz funkcjami trygonometrycznymi sinz oraz cosz w dziedzinie zespolonej zachodzą następujące wzory Eulera dla każdego z zespolonego:
(4.7)
(4.8)
cosz =
e'2 — cos z + i sin z,
eis+e-iz
sin z =
2 i
Z powyższych definicji oraz z wzorów Eulera wynikają następujące własności funkcji wykładniczych i trygonometrycznych dla z zespolonych:
(4.9)
e 'e 1 — e
'ił*i
dla dowolnych zx i z2,