str027 (5)

str027 (5)



§ 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 27

v = 1 /zlinię C, leżącą w płasz-= 1?


Promieniem zbieżności szeregu potęgowego (4.1) nazywamy liczbę r> 0 tak dobraną, że dla \z—z0\<r szereg (4.1) jest zbieżny, a dla |z—z0|>r— rozbieżny. Innymi słowy, jeżeli r>0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego (4.1), to

(4.3)    \z-z0\<r


x>\

1,

7’

z2 ^ 1>

—2xy

x+2y1-2x1+2x1yi

i) u = i.

o li równobocznej, dla a = 0

, dla a = 0 równanie osi Oy,

.A gdy a # 1. Gdy 1-a /


7zory Eulera

szereg następującej postaci: * Z <*n(z-Zo)n>

H = 0

•lone.


przedstawia największe koło o środku w punkcie z0 i promieniu r, wewnątrz którego szereg ten jest zbieżny.

Uzupełnienie definicji promienia zbieżności. Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny na całej płaszczyźnie, to przyjmujemy, że jego promień zbieżności r = co, a gdy jest on zbieżny tylko w środku z0, to przyjmujemy r = 0.

Dla wyznaczenia promienia zbieżności szeregu potęgowego mogą być z powodzeniem stosowane kryteria d’Alemberta 1.2 lub Cauchy’ego 1.3 (por. § 1).


Twierdzenie 1 (Abela). Jeżeli szereg potęgowy (4.1) jest zbieżny w pewnym punkcie Zj#0, to jest bezwzględnie zbieżny w kole \z—z0\<q, gdzie e = |zi_zol oraz jednostajnie zbieżny w każdym kole domkniętym |z —z0| <,0q, gdzie O<0<1.

Funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej nazywamy funkcję ez określoną szeregiem potęgowym


(4.4)


CO




.+



Funkcje trygonometryczne sinz oraz cosz dla z zespolonych określamy odpowiednio szeregami potęgowymi


(4.5)

oraz

(4.6)


n = 0


z2n+1    z3    z5    z7

1)"-= z---1----- + ...

' (2/1 + 1)!    3!    5!    7!


_2«    2    4    6

Z    Z Z Z

(2/0! = 1 _ 2l+ 44 ~ bT + "■


co

n = 0


Między funkcją wykładniczą e1 oraz funkcjami trygonometrycznymi sinz oraz cosz w dziedzinie zespolonej zachodzą następujące wzory Eulera dla każdego z zespolonego:


(4.7)

(4.8)


cosz =


e'2 cos z + i sin z,


eis+e-iz


sin z =


2 i


Z powyższych definicji oraz z wzorów Eulera wynikają następujące własności funkcji wykładniczych i trygonometrycznych dla z zespolonych:


(4.9)


e 'e 1 — e


'ił*i


dla dowolnych zx i z2,



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
76644 str029 (5) 5 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 29 Stąd natychmiast 1(2
str031 (5) § 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 31 Zadanie 4.3. Znaleźć część
str033 (5) § 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 33 nej (5). Mamy kolejno <
str035 (5) > 35 §4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH WZORY EULERA 4.    Wsk
226(1) Znaleźć promienie zbieżności szeregów potęgowych o wyrazach zespolonych: 1034 i w 1036. n~0 4
71608 str011 (5) § 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH 11 § 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBO
31882 str009 (5) § i. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH 9 § i. CIĄGI I SZEREGI LICZBOW
122 2 242 XI. Szeregi potęgowe ie/(0) = 0, otrzymujemy .2 2 2 23 4 25 6 27 .S,n *= 27 * _47 * +óT *
270 in. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Ze wzoru (UJ.73) wynika, ie szereg potęgowy można wewnątrz koła
270 in. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Ze wzoru (111.73) wynika, że szereg potęgowy można wewnątrz koła

więcej podobnych podstron