0334

336

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

5) Przy korzystaniu z przekształcenia Eulera w rachunkach bywa często korzystnie obliczyć kilka początkowych wyrazów szeregu bezpośrednio, a poddać przekształceniu dopiero resztę szeregu. Zilustrujemy to na przykładzie obliczenia liczby 7r za pomocą szeregu

■K

+

1-2 , 1-2-3

3-5

+

3-5-7

+ ... +

1-2-

•P

3-5-

•(2p+l)

+

")

(wyprowadzonego w 2).

Ponieważ stosunek następnego wyrazu do poprzedniego . ^p < -i- , więc reszta szeregu będzie

2p+l 2

zawsze mniejsza od ostatniego zachowanego wyrazu. Tak na przykład otrzymamy 6 poprawnych cyfr po przecinku, biorąc 21 wyrazów szeregu, bo 21-szy wyraz spełnia nierówność:

2- 1-2-3- ... -20 ₌ 00Q0 ooo ₃₇    < _0>000 000 5.

1-3-5- ... -41

Jeżeli zaś obliczymy, powiedzmy, siedem początkowych wyrazów wyjściowego szeregu bezpośrednio, a resztę po odrzuceniu tych siedmiu wyrazów poddamy przekształceniu, to otrzymamy

. /, 1,1 1

tc = 4 I 1---h ■—----

\    3    5    7

1	+ł-	1
7		11
2J	(l5 ^+	1
^L \		15-1

+ -

13

17

)-

+

1-2

15-17-19

1-2- ... -p

15-17-

•(15+2 p)

+

-)■

Tutaj już ósmy wyraz szeregu zawartego w nawiasach nie przekracza dopuszczalnego błędu

2- .1 -2-3-4-5-6-7 ₌ 0,000 000 2 ...

15-17- ... -29

i aby uzyskać tę samą dokładność wystarczy obliczyć oprócz siedmiu zachowanych wyrazów jeszcze osiem wyrazów przekształconej reszty, czyli razem 15 wyrazów zamiast 21.

415. Przekształcenie Kummera. Widzieliśmy, że przekształcenie Eulera, polegające na sformułowanej przed chwiią regule, prowadzi do jednoznacznego wyniku, co prawda nie zawsze korzystnego z punktu widzenia rachunków [414, 4)]. Natomiast metoda przekształcania szeregów, podana przez Kummera, dopuszcza większą dowolność, pozostawiając wiele sztuce rachmistrza, ale za to jest bardziej celowa, jeśli chodzi o ułatwienie rachunków przybliżonych. Ograniczymy się do przedstawienia idei leżącej u podstaw wspomnianej metody i zilustrujemy ją kilkoma przykładami.

Niech będzie dany szereg zbieżny

(9)    /ł<" ++⁽²>+ ... + A^m + ... ,

trzeba obliczyć jego sumę ze z góry daną dokładnością. Oczywiście A^a) -*• 0, gdy k -*■ oc. Wybierzmy inną wielkość nieskończenie małą a•*> równoważną z A^(k> [62] w ten sposób, żeby szereg

fli^1, + a‘x^2,+ ... +«^<i*^>+ ...

nie tylko był zbieżny do skończonej sumy A,, ale żeby tę sumę było łatwo obliczyć. Jeśli przyjmiemy

A^w-ti\^k' -= «</",

to będzie

^zł“^> = ^+S^a<‘‘’>

*-l Jt-l