liczby Z
6

33

2.5. Wzory Eulera

, j„d 36. Rozwiązać równanie x² - (2 4- j)x + (-1 + 7j) = 0.

przy^KI

przypadku jest A = (2 + j)² - 4(-l + 7j) = 7 - 24j, |A| = 25 i wobec (2.33)

W ^tym „iaj-wiastkiem stopnia drugiego z liczby A = 7 - 24j jest jednym P>^erw

<5 = •>/(25 + 7)/2 - jV(25-7)/2 = 4 - 3j.

34) wynika, że rozwiązaniem równania są liczby Stąd i z i²'    '

xi = 3 - j i x₂ = -l + 2j.

2.5. Wzory Eulera

e RS 2,7182

Funkcją wykładniczą e* i funkcjami trygonometrycznymi cos z i sin z zmiennej zespolonej z nazywa się funkcje określone szeregami potęgowymi:

COS 2

SIU 2

^ zⁿ    ,    z    z²    zⁿ

=    —r    —    1    +    TT    +    -rr +    . • • d--r    + -- -i

n!    1!    2!    n!

+r\ -O

(2.35)

71=0

oo

n=0

oo

= £(-b"

71 = 0

,2 n

z²    z⁴    z⁶

. — «

(2njl ⁼ “ 2f ⁺ 4! ^_ 6! ⁺’"’

(2.36)

,2n-f 1

z³ z⁵ z⁷

(2n + l)!    ²    3! ⁺ 5!    7! ⁺

(2.37)

Funkcje określone powyższymi równościami są naturalnymi uogólnieniami rzeczywistej funkcji wykładniczej e^x i rzeczywistych funkcji trygonometrycznych cosx i sina;.² Z (2.35) po podstawieniu jz zamiast z otrzymujemy

(jz)²    (jz)³    (jz)⁴

e⁷² = 1 + jz + —tt— +    + y~77- + • • •

2!

3!

4!

jz'

.2    „• „3    „4    „-„5

Z    IZ^w 2

¹⁺‘^K_2!“'3r⁺4!⁺"5r ^{+ ,}“'

Stąd zaś, po oddzieleniu składników zawierających z w potęgach parzystych od tych, w których z występuje w potęgacli nieparzystych, otrzymujemy

( z² z⁴ \    (    -z³ z⁵

Z (2.38), (2.36) i (2.37) jest oczywiste, że dla każdego z € C mamy

e^jz = cos z + j sin z.

(2.38)

(2.39)

ch samych powodów

e i^z = cos z - j sin z.

(2.40)

___ ^    ^oo z¹¹ C(z) —

W analizie matematycznej dowodzi się, że funkcje E(z) 2^n=o n\

(-1)" <²" i S(z) - T™ (-i)ⁿ7^ ** ^{określone dla} ^ ^liczby zespoloneJ :0    * 727TTT ¹    - Z_/n=0' ¹¹ 7277+1)1    _s    *" _{cosx =}

C. Tamże dowodzi się, że dla każdego rzeczywistego x    ^n_(\    .    .

( nn I²’¹ • •    _    Zatem funkcje zespolone E(z), C{z) i S(z) są

o' 72777T ¹ i>'^nx ~ 2^„=o^    ¹ 7277TT)!    _{też WZE}iędu są one oznaczane przez

nieniami funkcji rzeczywistych e , <«• >    _Q . J_em , _sinusem zmiennej zespolonej z.

>s z i sin 2 i nazywane funkcją wykładniczą, -