0469

471

§6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne — Wzory Eulera-Madaurina

467. Przykłady obliczeń z zastosowaniem wzoru Eulera-Madaurina

1) Postawmy sobie za zadanie przybliżone obliczenie wartości sumy poniższych 900 (!) składników

1-999    1000

El-Eł

1-100    100

przyjmując /(z) = 1 /z, a = 100, b = 1000, h = 1. Ponieważ

i ogólnie

=    /"'CO-—-,

/<«>_W = ^i,

z³

/<”(*) - -

120

z*

/0»>(Z) ₌

(2*)i

_z»+i •

więc warunki na pochodne parzystego rzędu są spełnione.

Przedłużamy rozwinięde do wyrazu zawierającego/"', a więc do reszty wejdzie już /^<3). Ze wzoru Eulera-Maclaurina:

1000 1000 . ,

Vi= f *L + —(—___L+U___M-

Z_i * J *    2 \ 100    1000 /    12 \ 100²    1000² /

100 100

---1---1—\ (o<e<i).

\ 100*    1000⁴ )    3024 \ 100*    1000* /

6

720

Ponieważ jest

f — = ln 10 = 2,302585092994045 ... J x 100

— (—---—)    =    0,0045

2 \ 100    1000/

-i- (-L----=    0,00000825

12 \100²    1000¹ )

--i- l—----—) = -0,000000000083325

720 \ 100*    1000* /

— (■

3024 \ 100*

1

2,307093342910720

—ł—\ < 0,000000000000004, 1000* /

więc z dokładnością do

10¹⁴

możemy przyjąć

1UVU

30709334291072.

Eł-*

i .    .

2) Obliczmy teraz / j— = ln2. Tutąj /(z) =    a = 0, b = 1. Przyjmijmy

h = -jg- (n = 10). Mamy

fXz)

1

d+z)¹ ’ /^<ł)(z) ■

24

(1+z)³ *

120

(l+r)‘

/^<5)(*) ■