0465

467

§ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne — Wzory Eulera-Maclaurina

|J r,(x) dx| < f W*)| dx < . / £ =    (~±T ~    •

Ponieważ z uwagi na (15) mamy dla dostatecznie dużych x x    x

więc przechodząc do granicy, gdy X -*■ oo. mamy (dla wskazanych wyżej x) więc

lim    = 0 ,

X-»0O

co wraz z równością (16) dowodzi prawdziwości rozwinięcia asymptotycznego (14).

Można wykazać, że jeśli rozwinięcie asymptotyczne funkcji A (x) zawiera wyraz ajx (gdzie a_x¥= 0), to funkcja ta nie może już mieć całki skończonej w granicach od x do + oo [patrz niżej 474].

Uwaga. Warto zauważyć, że na ogół formalne różniczkowanie wyraz za wyrazem jest niedopuszczalne. Rozpatrzmy dla przykładu funkcję F(x) = e^-*sin e*. Ponieważ dla dowolnego n

lim F(x)-x“ = 0,

więc F(x)~0, tzn. rozwinięcie asymptotyczne funkcji F(x) składa się z zer. Tymczasem w przypadku pochodnej F' (x) = — e^_,sin e^x+cos e* rozwinięcie takie jest na ogół niemożliwe, gdyż nie istnieje nawet granica lim F‘ (x).

465. Wyprowadzenie wzoru Eulera-Maclaurina. Wzór ten odgrywa ważną rolę w analizie. W szczególności korzystamy z niego często, gdy chcemy otrzymać konkretne rozwinięcia oscylujące lub asymptotyczne. Wyprowadzimy ten wzór i wskażemy jego zastosowania.

Wyjdziemy ze wzoru Taylora z resztą w postaci całki oznaczonej [318] (*)

Af(x₀) = f(x₀+h)—f(x_Q) = hf’(x₀)+ 4r/"(xo)+    + ^-f^tmHxo)+p ,

2!    ml

gdzie reszta ma postać

** *

p--f /^<”^+,,(f)(x₀ł/,-rrdt = [f<”+^l\x_a+h-z)-£-dz.

ml J    J    ml

Weźmiemy teraz zamiast / kolejno funkcje

X

y    /(*), hf{xU h*f'(x),    ..., h^m~²f^im~²)(x),

*o

zastępując równocześnie m przez

m, m— 1, m—2,    m—3.....1,

(') Zarówno teraz jak i później będziemy zakładali bez specjalnych zastrzeżeń istnienie i ciągłość wszystkich wypisanych pochodnych.