0473

475

§ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne — Wzory Eulera-Maclaurina

którego suma ma także ten sam Znak, co wyrażenie Ai_kh^ik~^l/^iu~^l>(a) i jest co do wartości bezwzględnej nie większa od niego. Podstawiając w tych wzorach liczbę a zamiast b przekonamy się o zbieżności szeregu

oo k    co k

-i- ^ J <P2kU)/^<2t,(x+h—z) dz = -i- ^ J <pn(z) f^(lk\b+ih—z) dz,

» o    1-10

jak również o tym, że jego suma ma taki sam znak jak wyrażenie A_2kh^lt~¹f^(Ik~¹Xb) i jest co do wartości bezwzględnej nie większa od niego.

A więc nie tylko przekonaliśmy się o zbieżności zastosowanych szeregów nieskończonych, lecz po drodze stwierdziliśmy, że resztę R' wzoru (25) można napisać w postaci

(25*)    R' = 0 A_lk A"-^,/⁽”-^,,(ó) - 9 (-l)‘-‘ -A-ń“-^,/<“-¹>(ó)    (0 < 9 < 1).

Bardzo ciekawe, że stała C* ze wzoru (25), która jak to wynikało ze sposobu jej konstrukcji, mogłaby zależeć od wskaźnika k, w rzeczywistości od k nie zależy. Aby się o tym przekonać, wystarczy porównać wzory (25) i (25*) z takimi samymi wzorami dla przypadku k = 1:

> »

][]/(*) = Cx+ -i- f f(x) dx+A₁f(b)+R',

gdzie

R' = 9 A₂h fXb) (0 < 0 < 1).

Mamy

C_l+9A₁hf'(b) - C_k+A₂hf(b)+ ... +A_2k-2 h^2l-³f<^2t-³Kb)+9A_2k A“-‘/^<“-^,)(6) .

Jeżeli przejdziemy teraz do granicy przy ó -*• oo, to po uwzględnieniu b) otrzymamy

C_k — Ci = C.

Stała C, którą nąjnaturalniej nazwać stalą Eulera-Maclaurina funkcji f(x), zależy nie tylko od tej funkcji, lecz także od wyboru a i h.

Uwaga. Przechodząc do granicy w nierównościach powinnibyśmy do znaków nierówności dołączyć znaki równości i pisać do czynnika 9 z (25*) nierówność 0 < 9 < 1. Że 6=^0, widać od razu, gdyż suma szeregu nieskończonego o wyrazach tego samego znaku nie może być równa zeru. Jeśli zaś założymy, że 9 = 1, to po zwiększeniu o jeden wskaźnika k we wzorze (25) otrzymamy R' — 0, co jak przed chwilą wykazaliśmy, jest niemożliwe. A więc w rzeczywistości 0<d<l, tak jak pisaliśmy.

Zamiast sumy skończonej (25) napiszmy Szereg nieskończony. Otrzymamy szereg Eulera-Maclaurina w postaci

t    b

]T/M = C+-i- J f(x) dx- jf(b)+ -|i-/./'(*)- ^h³f'"(b)+ ...

a    a

- +(-l)*-²7#^r*”-³/^<:!‘-³⁾(ó)-ł-(-l)‘-¹7^_rA“-¹/⁽"-^,>(ó)4-...

\ZK — Z)!    *

(znak = ma tu także sens umowny!). Z uwagi na a) wszystkie pochodne /^u*^_1)(ó) zmieniają się wraz ze wzrostem b w tym samym kierunku, a ponieważ z b) wynika, że gdy b -*■ oo, pochodne te dążą do 0, więc mają one wszystkie ten sam znak. Stąd [i z (25*)] wnioskujemy, że szereg Eulera-Maclaurina w nowej

b

postaci także oscyluje wokół sumy £ f(x) występującej po lewej stronie.