0467

469

§ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne — Wzory Eulera-Maclaurina

(17). Z tego, co powiedzieliśmy w ustępie 449 o liczbach ft_k, widać, że

(20)Ai = A.:--J_, _A =Jhjt^--o dla p > 1,

1!    2    '    (2p—\)\

gdzie fi, jest p-tą liczbą Bernoulliego.

A — P³’ ^A2' ~ (2/0!

(-1)'

(2/0!

Funkcję f(x) będziemy rozpatrywali w przedziale skończonym <a, by. Przyjmijmy h =

b—a

, gdzie

a+(n— 1) A = b—h

n jest liczbą naturalną. Biorąc za .r₀ kolejno liczby a, a+h, a+2h,

napiszmy równości postaci (18) z resztą postaci (18*) dla każdego przedziału <o+(ł—1) h, a+ihy (i = 1, 2,.... «) z osobna, a następnie dodajmy wszystkie te równości wyraz za wyrazem. Otrzymamy

n    b    b

(21)    ^]/(_fl+(»-l) A) = ^/(a)=-1 J f(_x)dx~A_llf(b)-f{a)]+A₂ h lf'(b)-f'(a)]+ ...

1    a    a

...    A”-²[/⁽”-^2,(A)-/^(m-^2>(a)]+>ł,

gdzie reszta

a k    > k

(21')    /ł = -y ^ J /‘"'(a-f/A-r) ę>„(z) rfz = -i- ^ | /^(m,(jf+A-z) <p„,(z) </z.

1*1 0    a O

Jest to właśnie wzór Eulera-Maclaurina i przy tym z resztą (która oczywiście nie została podana przez autorów). Liczba m może przyjmować różne wartości, poczynając od 2.

466. Badanie reszty. Zrobimy najpierw pewne uwagi o funkcji <p_m(z). Przede wszystkim, różniczkując (19), otrzymujemy

(22)    <p_m(x) = 95„-i(z)+/l_m-i A”"¹ ,

co widać od razu z samej postaci wielomianu <p_m(z) [patrz (19)].

Następnie, dla dowolnego m > 2 mamy

(23)    <p_m(0) = 0, <p_m(h) = 0 , co wynika z ostatniej równości układu (17).

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie:

Funkcja fikU) {parzystego rzędu) nie może przyjmować w przedziale <0, A> żadnej wartości więcej niż dwa razy.

Przypuśćmy, że jest przeciwnie. Wtedy jej pochodna [patrz (23)] q>'_lk{z) = <p_2k-,(z) (przecież A_2k~, = = 0) przyjmowałaby wewnątrz przedziału — według twierdzenia Rolle’a — wartość 0 co najmniej dwukrotnie. A więc pochodna <p'_lk_₂{z) = <p2k-2(z)+A_2k-₂h^2k-² przyjmowałaby według tego samego twierdzenia wartość 0 wewnątrz przedziału <0, A> co najmniej trzy razy, tzn.funkcja rp_2k-₂(z) przyjmowałaby wewnątrz tego przedziału tę samą wartość — A_2k-₂h^2k~² co najmniej trzy razy. Tak obniżając stopniowo rząd funkcji o dwie jednostki doszlibyśmy do wniosku, że funkcja <p₂(z) — -j z² — y (wielomian kwadratowy) przyjmowałaby pewną wartość co najmniej trzy razy, co jest niemożliwe. Twierdzenie nasze zostało udowodnione.

Wynika z niego ważny wniosek: funkcja q>_2k{z) zachowuje znak w przedziale (0, A), bo przyjmując wartość 0 na końcach przedziału [(23)] nie może już przyjąć wewnątrz przedziału wartości 0. Łatwo ustalić, jaki to właśnie znak zachowuje funkcja q>_2k(z): dla małych wartości z (a więc wszędzie pomiędzy 0 i A) wielomian ten ma znak wyrazu najniższego stopnia A_2k-₂h^2k~²z² (A_2k-₂ = 0), tzn. znak (—1)‘, bo A_2k-₂ =

=*(-l)‘-²

fr-i

(2A-2)! '