0475

477

§ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne — Wzory Eulera-Maclaurina

Wzór ten został już wyprowadzony w inny sposób w ustępie 406. Tam też obliczyliśmy, że e^c = a = j/2n, a więc nieznana nam dotychczas stała C wynosi -i ln 27r.

Obliczymy dla przykładu ln (100!) z dziesięcioma cyframi po przecinku, korzystając ze wzoru (27) i przyjmując k = 2. Po uwzględnieniu tylko pięciu liczb:

-i-ln2jr = 0,918938533204

(«+ y) ln « = 100,5 ln 100 = 462,819603691803

-n = -100 = -100

= —— = 0,000833333333 2n 1200

--Ł— --L—- = -0,000000002777

12n³    36-10⁷

otrzymamy wartość ln (100!) równą 363,7393755556 z dokładnością do ^ ^g- (z uwzględnieniem reszty

i poprawek przy zaokrąglaniu). Dokładność przybliżenia możemy jeszcze znacznie zwiększyć, gdy weźmiemy więcej wyrazów i każdy z nich z większą dokładnością. Dokładność ta będzie wzrastała, w danym przypadku w przybliżeniu do 300 wyrazu (dopóki wyrazy będą malały co do wartości bezwzględnej).

Uwaga. Czytelnik widział na wielu przykładach, że za pomocą sum częściowych szeregów na pewno rozbieżnych możemy niekiedy obliczyć wartości potrzebnych nam wielkości i to nawet z dużą dokładnością. Zarówno dawniej, jak i teraz niektórzy autorzy nazywają takie szeregi „półzbieżnymi”. Woleliśmy jednak nie używać tego terminu, ponieważ mamy trudności z podaniem dla niego dostatecznie ogólnej, a jednocześnie ścisłej definicji.