0461

$ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne — Wzory Eulera-Maclaurina 463

Fakt ten zapiszemy tak:

A (x) ~ a₀(x)+a_l(x)+ ... +o«W+ ...

Z uwagi na to, że

r,(Jt) = o,+i(z)+r,łiW

r.(x)    a.tiW T ! r.nW 1

a.(x)    a.(x) L 0«+i(*)J

otrzymujemy jako wniosek z (7) równość

(8)

Łatwo udowodnimy twierdzenie:

Jeżeli szereg (6) oscyluje wokółfunkcji A (jt) i spełnia warunek (8), to szereg ten jest także rozwinięciem asymptotycznym funkcji A (x) w pobliżu x = ca.

Rzeczywiście, mamy

|r,WI < I<7»+iC*)i.

więc

r,(x)

a,(.x)

<

a*+i(x)I a.(x) I

i z (8) wynika już bezpośrednio (7).

Obydwa szeregi (1) i (2) przytoczone poprzednio jako przykłady są rozwinięciami asymptotycznymi odpowiednich funkcji, pierwszy w pobliżu x = 0, a drugi w pobliżu je = oo.

W toku dalszego wykładu będziemy mieli z reguły do czynienia z szeregami asymptotycznymi postaci

(9)    A (JE) ~ V - a„+ Si. +    + ... +    + ...

L-a &    xx²

R~0

w pobliżu x = oo. Przypominamy, że sens podanej zależności polega tylko na tym, że dla dowolnego ustalonego n jest zawsze

lub dokładniej

(10)    lim \a (*)—«o——---— ... —^jj-1 z" = 0.

x-+m L    XX    JT J

A więc dla „dużych” je zachodzi wzór przybliżony

A (je) ~a₀+-^- + -*f-+ ...+-2ł-,

X JE*    JE*

którego dokładność określa równość (10).

Jeżeli napiszemy tę równość w postaci

(10*)    lim \a (je)-«o-    - -^-1 -je* - a.,

X-»CO L    XX    A J

to wyraźnie dostrzeżemy jednoznaczność rozwinięcia asymptotycznego postaci (9) funkcji A (je), oczywiście przy założeniu, że funkcja ta w ogóle takie rozwinięcie posiada. Wszystkie współczynniki a. wyznaczamy kolejno ze wzoru (10*) w sposób zupełnie jednoznaczny.