0459

461

§ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne — Wzory Eulera-Maclaurina

2) Przyjmijmy teraz (dla *>0)

k-l

gdzie 0<c < 1 (szereg jest zbieżny!).

Dla k<x mamy

1 _ 1___₊ .

x+k x x¹ x³ x*

gdy k>x, szereg ten jest rozbieżny. Mimo to podstawiając formalnie to rozwinięcie do szeregu określającego funkcję F(x) możemy dodać wyrazy podobne i otrzymać tą drogą szereg

(2)

gdzie

k-l

Łatwo sprawdzić, że wszystkie szeregi wyznaczające współczynniki A„ są zbieżne. Poprzedni szereg jest jednak wyraźnie rozbieżny, gdyż

a to ostatnie wyrażenie dąży do oo, gdy n -*■ oo.

Podany szereg rozbieżny (2) ma n-tą sumę częściową

k-l v-l

a więc reszta wynosi

l)^v-²k^v

1-K-D

c*

x+k ’

r_n(x) - FW-S.W = (-1)” V—.

(jc+śt) x“

*-l

Tu także mamy

00

r,W = 0-(-l)-^^ c‘.-l_r=e.A±i-    (0 < 0 < 1).

ł-1

Znów otrzymaliśmy znaną własność szeregu naprzemiennego, chociaż rozpatrywany szereg jest rozbieżny. Oczywiście, biorąc sumę częściową tego szeregu rozbieżnego S„(x) jako przybliżenie F(x), na pewno nie można przy ustalonym x otrzymać dowolnej dokładności, można jednak otrzymać dowolną dokladnoić dla dostatecznie dużych x. W rozpatrywanym przykładzie pozostaje w mocy uwaga, o tym, że dodawanie do S„(x) nowych wyrazów opłaca się (w sensie zwiększenia dokładności) tylko dopóty, dopóki wyrazy maleją co do bezwzględnej wartości, tzn. \A_n+,IA_n\<x.

Oczywiście przy ustalonym n reszta r.(x) dąży do 0, gdy x -*■ co. Więcej nawet, ponieważ wtedy

*V„(*) =

.V

więc

1

mamy przy przybliżonym obliczeniu F(x), tym większy rząd małości ma błąd tego przybliżenia dla x-*oo_#

2

r_a(x) jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż w. Im więcej wyrazów szeregu rozbieżnego (2) zatrzy