0471

473

§ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne — Wzory Eulera-Maclaurina

zamiast A_m ich wartości, otrzymujemy

s

i-0

1

(a+i)²

B₂

_J___1_

aĄ-n    a

[(a+n)⁵

1___1_

(a+n)²    a²

- ... -(-1)‘-²

]    ^5l[(a+«)³

^Bk 1 [ (o-fn)²⁴'¹

^] ⁺

1

_a2K-l J

Przejdźmy teraz do granicy, gdy n + oo, przy ustalonych a i k. Łatwo się przekonać, że czynnik 6„ także dąży przy tym do pewnej granicy 0, 0 < 0 < 1, a więc

-t+^b*-Ą

a⁵    a

a³

Y—!——L + ±

z_i (a+i)² a 2

i-o

1

+ 0(-l f-'B_k

1

a""¹    a*^K*¹

Obierzmy teraz konkretnie a = 10 i k — 10 i skorzystajmy ze znanych wartości liczb Bernoulliego [449]. Otrzymamy ostatecznie

9

^₆yi+i₊±

Z_i i² 10    100

1

1

1

1

1000

691

5-10⁵

7

7 10⁷ 3617

+

5 • 10⁹ 43867

11 * 10“    455-10¹³    10¹⁵

Obliczenia przeprowadzimy z 19 cyframi po przecinku

85•10¹⁷    133-10¹⁹

'174611 55•10²¹

9

— 4"- 4- •¹ •

10 100 1000

_ 1

5 10⁵

1

7-10⁷ _ 1 510⁹ 5

11-10“ _    691

455-10¹³

7

10“

_    3617

85-10¹⁷

43867 133-10¹⁹

9,2386063869992441421

0,631

-0,000002

0,0000000142857142857 -0,0000000002 0,0000000000045454545 -0,0000000000001518681 0,000000000000007 -0,0000000000000004255 0,0000000000000000330

9,8696044010893586217