Zadania

Liczby zespolone i funkcje wymierne

1 .Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej

a) z =

(2-3 iY

(l + 2/)(3-0

Odp:

[ Rez = —1,7 Im z = -0,7 ’ Rez = 1

i⁵ + 2 ₇    [ Re z = -2

bIz = (V4)² Odp:

,    (V3+0(-l + /V3) _ .

c)z = --——r-^ Odpis    _r ,

(1 + /)²    [lmz = V3

d) z =

r+r

2 + 3/

l-/

Odp:

Im z = 1,5 j Rez = 2,5 _ | Im z = -0,5 ’

2.Znależć postacie trygonometryczne liczb zespolonych ą) z, = —v/3 + / oraz z₂ = -1 - i a następnie obliczyć :

P)\

Odp: 4 :

a)    z,²z7 Odp: 872(-cos—+ /sin—);

^{1 2}    —12    12    z₂

b)    z, = 273-2i oraz z₂ = -1 + 73/' a następnie obliczyć:

a) z\z\ Odp: 128(—V3 + /);

3.Obliczyć

ą)(-V3-0¹⁶ Odp: 2¹⁵(-l+/73);

P) ~j Odp: j(l + V3i); z,    4

b) (-73+0²’ Odp: -2²¹/;

1 + 73/

+ /

n 1 + 73 .    . n 73—1

Odp: cos— =-— i sin— =

4.Korzystając z postaci kanonicznej i trygonometrycznej liczby-— obliczyć:

. n . n sin— i cos— 12 12

12 272 12 272 4.Znależć pierwiastki liczby zespolonej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej ą) 73 + 4i    Odp: w, = -2 - /' v w₂ =2 +i;

b) 7-5-12/    Odp: w, = -2 + 3/ v w₂ - 2-3/;

ę} 7-8-873/    Odp: w₀ = 1 + 73/ vw, = -73 + /'v w₂ = -1 -73/ v w₃ =73 -/;

__ r-ł    J    r-j    1

d) V - 73 - /    Odp: w* = 72 [cos(—;r+—£;?•) + /sin(—;r +—A:;r)] dla A: = 0,1,2,3;

e) 72-273/ Odp: w* = 74[cos(—;r +—A:7r) + /sin(—7r + —Att)] dla A: = 0,12;

m

h) 7^1

0

2 , „    . . J3 2

1 ^

Odp: w* =V2|cos(—n+ —kn) + i sin(—n+—kzr)] dla k = 0,1,2; 36    3    36    3

1

Odp: w_k =cos(—7r + — k7i) + ism(—7r +—k7r) dla k =0,1,2,3,4;

5.    Korzystając ze wzorów Newtona i Moivrea wyrazić przez sina i cos a funkcje

a) sin3a i cos3«    b) sin4a i cos4«

6. Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory spełniające warunki z-i

a) -—- = 2 Odp: z - -2—/; z +1    3

b) i(z + z) + i(z - z) = 2/-3 Odp: z = 1 + c) z z + z - z = 3 + 2/ Odp: z, = -72 + / v z₂ = 72 + /'; d) Izl + z = 2 + / Odp: z = 3/4 + /