3685665571

Zadania o liczbach zespolonych

Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i 6, aby zachodziły równości: a) a(2 + 3i) + 6(4 - 5i) = 6 - 2i, b) a(-y/2 + i) + 6(3^ + 5i) = 8i, c) a(4 - 3i)² + 6(1 + i)² = 7 - 12i,

^d> ra + 3T2! = 1. <0 «H + ^Ł(ra)^{2 = 1+i}' ^f) + f?f =»•

Rozwiązanie, a) Przedstawiamy lewą stronę równości w postaci algebraicznej: a(2+3i)+6(4—5i) = (2a+46) + (3a—56)*. Ponieważ a, 6 £ R, więc z warunku równości liczb zespolonych

....    . f 2a + 46 =    «

mamy układ rownan: <

l óa — 56 =

W =

3

= -10-12 = -22, W_b=\

. Rozwiązujemy go metodą wyznaczników: 6

= -30 + 8 = -22. W_b =

= -4 - 18 =

—22. Zatem nasz układ ma dokładnie jedno rozwiązanie a =    = +22 ⁼ 1 oraz 6 =    = +22 ⁼ !•

Odp. a = 6 = 1.

b) Przedstawmy lewą stronę równości w postaci algebraicznej: a(—\/2 + i)+6(3\/2 + 5i) = (—v^/2a+3v^/26) + (a + 56)i, więc z warunku równości liczb zespolonych mamy

....    , / -V2a + 3s/2b    .    ,. ,    . f -a + 36 = 0

układ rownan: <    ^ _rJ) _ _fi , który jest równoważny układowi ^

56 = 8 ’-----^{J J} ---------- ^v -----t a + 56 = 8 '

Z pierwszego równania a = 36, więc po podstawieniu do drugiego równania 36 + 56 = 8, skąd 6 = 1 i a = 36 = 3.

Odp. a = 3 i 6 = 1.

c) Obliczamy (4-3i)² = 16-24i + 9i² = 16-24i-9 = 7-24i, (1 + i)² = l + 2i + i² = l + 2i-l = 2i. Teraz zapisujemy lewą stronę równości w postaci algebraicznej: a(4—3i)²+6(l+i)² = a(7—24i)+6-2i = 7a + (—24a + 2b)i. Zatem z warunku równości liczb zespolonych mamy, że 7a = 7 i —24a + 26 = —12. Stąd a = 1 oraz -24 + 26 = -12, czyli 26 = 12 i 6 = 6.

Odp. a = 1 i 6 = 6.

d)    Obliczamy 5^5, =    3T5J =    = T' ^wi«^{c nasze}

równanie możemy zapisać w postaci: a(2 + 3i) + 6(3 - 2i) = 13, czyli (2a + 36) + (3a - 26)z = 13, skąd 2a + 36 = 13 i 3a-2b = 0. Zatem 6 = |a oraz 2a+§a = 13, skąd = 13, więc a = 2 oraz 6 = §-2 = 3.

Odp. a = 2 i 6 = 3.

/-.ul:_______ 2+i    (2+i)(3+t)    6+2i+3i+»²    5+5t    1+i 4-i (4-»)(l+3i)    4+12t-i-3i² 7+lli

e) Obliczamy. - pr^5+if - ^T3ł+ił - w - 2 > 1=3? “ (i-3i)(i+3i) -    iS+3*— “ 10^-’

więc    = ⁴⁹+¹⁵4»+i2it^a _ —72+i54t _ ~¹⁸+^36ł. Zatem nasze równanie przybiera postać:

_ai±i + 6^±fpi = 1 + i. Ale    = -¹⁸+¹«j+36i-36P ₌ I8±54i _{= 9 + 27}i, więc nasze

= 1. Zatem 25a + 26(9 + 27i) = 50, czyli (25a+186)+ 546i = 50.

równanie przybiera postać: ^a + 6—

Ale a, 6 € R, więc stąd 25a + 186 = 50 i 546 = 0, czyli 6 = 0 i a = 2. Odp. a — 2 i 6 = 0.

(5—3i)(5+3i) ⁼    5²+3^2    =    “34    > 3-5» ⁼ (3-5tj(3+5śj

9h-|-i5bi-j-6i-|-ich _ (9fe-io)+(i56+6)i 2atem nasze równanie przybiera postać: [(10a + 9) + (6a — 15)i] + [(96 — 10) + (156 + 6)i] = 0. Zatem (10a + 96 — 1) + (6a + 156 — 9)i = 0, skąd z tego, że a, 6 € R,

10a + 96-1 = 0 i 6a + 156 -9 = 0. Mamy zatem układ równań: 1    f . Po odjęciu od

( 10a + 96 = 1

drugiego równania, równania pierwszego pomnożonego przez 5 uzyskamy, że —166 == —14, skąd 6 = Zatem 2a + 5 ■ | = 3, skąd a = —jg.

Odp. a = — jgi6=g.

Zadanie 2. Przedstaw w postaci algebraicznej następujące liczby zespolone: a) (2 + i).(4 —>) + (l + 2«)-<3 + 4,),b) atiŁŁS)., _c) (1 + 2>) ■ i + f±|, d)

Rozwiązanie, a) (2 + i) ■ (4 — i) + (1 + 2i) • (3 + 4i) = 8 — 2i + 4i — i² + 3 + 4i + 6i + 12i² = 12i.