88460

_Chemia - Zestaw nr 1. Liczby zespolone._

z = x + i y - liczba zespolona ; X = Re Z - część rzeczywista liczby z ; y = Imz - część urojona liczby z

•    —iy - liczba sprzężona do liczby z; | z n>/*² -*-y² ~ nioduł liczby zespolonej z.

•    Jeżeli liczbę z = x + i y interpretujemy jako punkt na płaszczyźnie o współrzędnych (x,y), to \z\ jest odległością tego punktu od punktu (0,0). Uwaga: zź =| z |² (iloczyn liczb zespolonych - zobacz niżej)

• Argumentem liczby zespolonej    z=x + /y^0    nazywamy kąt <p (określony z dokładnością do

wielokrotności 2k), jaki tworzy promień wodzący punktu z=(x,y) z dodatnim kierunkiem osi Ox. Jeżeli założymy że 0 < <p < 27C, to<p nazywamy argumentem głównym liczby z (oznaczamy. <p = arg z - [małe a]). Jeśli <p jest argumentem liczby z, to liczba 0 = (p + 2kic ( k = ±1, ±2, ...) także jest argumentem liczby z (oznaczamy 0= Arg z - przez duże A). Liczbie z = 0 nie przypisujemy żadnego argumentu.

•    z = r( cos ą>+/siną)) - postać trygonometryczna liczby zespolonej, r = |z| , cos <p=x/r, sin <p = y/r (te warunki wyznaczają kąt <p=Arg z z dokładnością do wielokrotności 2n). [Uwaga: Przytaczany niekiedy wzór (p = arc tg % (dla x*0) nie jest prawdziwy ogólnie - dlaczego?]

Niech zi = xi + iyi oraz h - X2 + iy^.

•    Suma (różnica) liczb zespolonych: Zi ± Zz = (xi± x^) + i(yi tyi) ■

•    Iloczyn liczb zespolonych: Liczby zespolone mnożymy tak jak wielomiany, pamiętając, że i² = -1. Tak wię< ziZ2=(xiX2-yiy2)⁺i(xiy2+X5yi) (w istocie - nie ma potrzeby zapamiętywania tego wzoru).

^zi _ ^zr h _ *1*2⁺ ytfi. *2^1 “ *1^2..

• Dzielenie liczb zespolonych:    ⁼    _ ⁼ j 2*    2    2 ¹ Po wymnoźenlu licznika i

^z2 ^z2' ^z2 *2+3^2    *2+Y2

podzieleniu przez mianownik, który jest liczba rzeczywistą otrzymujemy wynik dzielenia.

•    Jeżeli liczby dane są w postaci trygonometrycznej, tzn. z* = rv(cos <Pk + i sin <pw), k=l,2,

^zi ^ri

to wtedy Z1Z2 = nr2(cos(<pi + cp^) + i sin((pi + cp^)) oraz ⁼ (cos(<pi - <p>) + i sin(<pi - 92))

z₂ r₂

{Tak więc przy mnożeniu (dzieleniu) liczb zespolonych, ich moduły się mnożą (dzielą), a argumenty dodają (odejmują)}. W szczególności, | z_xz₂ (=| z, || z₂\, | z, / z₂1=| z, | /1 z₂1.

•    Wzór Moivrc’a: Jeśli z = r(cos (p + i sin <p), to z" = r"(cos iKp + i sin n(p) (n=l,2,...).

•    Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby w nazywamy każdą liczbę a, spełniającą równanie z_k" = w.

Jeżeli ^w = r(cosę) + i sin <p) to z_k - Vr| cos ⁹ + *^kir + i sin — ^2k* \ k = 0, 1,.... n-1.

{ n    n )

Z    3    19'

1) a) Policzyć Z1+Z2, 2zi+3z2, Z\Z>, z\²z<, ~ , —^7, gdzie Z\ = 2-3i, zj= -l-2i; b) Ke^-—-7 c) Im (3 - i)‘(2+i) d

z₂    2+31

Ref —-— 1 2) Przedst. w post. trygonometr:. a) 1 + / -J3 ; b) -1 + i; c) 2i + 2; d) y/3 - i; e) 1 - i; f) -i;

g) -1; h) i; i) sin <p+i cos(p j) (cos <p - l)+i sin <p (Wsk: wyrazić poprzez funkcje kąta <p/2)

3) Policzyć (1 - /V3 )⁶, (1 - i V3 )²

(l + i)¹⁰    (2 + i)² . (1 + 2/)³

; yl-9 + 40/ (ogólnie, por. zad. 8).

1-iS * (1-2 i)³ (2 - i)²

4)    Rozwiązać w liczbach zespolonych równania: a) (l+fjz² - (6+2/)z + 14—21 = 0

b) (l + Oz²- (4+2i)z + 7+/ = 0    c) z²-2z +2 = 0    d)z⁴ + z²+l = 0

e) z²+z-i + 1=0    0 zMl + Oz-2-1 = 0 g) z² + (3/ - l)z - (/ + 2) = 0

5) Obi. Vl,V—l,Vl, V—I,Vl,V—I (zast. wzory polówk. i symetrię), )‘VI, V—8 +8>/3i

6)    Podać interpretację geometryczną zbiorów liczb zespolonych:

a) {z:|z—i| < 4, 0<argz<JC/2} b) {z: |2z + 3| > 4} c) {z:|z +1 - i| < 2} d) {z: |z - 4| > |z|}

7)    Wyrazić cos 5<p oraz sin 5<p za pomocą sincp i cos (p. (Wskazówka: skorzystać ze wzoru Moivre’a)

8)    Wykazać met algebr, lub trygonometryczną, że dwa zespolone pierw, kwadr, z liczby zespolonej

if/E±£

w = a + bi, czyli rozwiązania równania z² = w, wyrażają się wzorem z

IV 2

gdzie

r=| w | =,J_a² +b², oraz £=+1 gdy b>0, zaś e= -1 gdy b<0.