3582327316

Chemia - Zestaw nr 9. Geometria analityczna w R³. rachunek wektorowy.

f x = Xq + at

Prosta w Rń postać parametryczna:    M    . gdzie (xo,yo) e /, [a,b] - wekt. równoległy do l

ly = yo⁺

postać ogólna:    /: A(x-x₀)+B(y-y₀) = 0, gdzie (xo,yo) 6 /,    [A, B] - wektor prostopadły do /

albo:    /; Ax + By + C = 0, gdzie [A,B] - wektor prostopadły do

prostej

postać kierunkowa:    /; y = mx + n, gdzie m współczynnik kierunl<owy prostej /

n = [x_lyx₂,.

|u|-|v|sm(Z («,v)) pole równoległob< >ku)

•    v = [y.,y₂,y ₃]

•    W ⁼

II. wektor. ii^xv

*2	*3			*3	^xi	x2
J y2	y3	9	yi	y3	yi	y2

, ii^xv_Lii,v, Iii x vj = (długość iloczynu wektorowego to

Iloczyn skalarny:    u ■ v = x_tiyj + x₂y_;i + x-_iy_{3 t} u • v = |n|-|vj cos(Z (n,v))

Iloczyn mieszany: [nrw]=(ii ^x v)- w

yi y₂

y₃

(wzgl. objętość

równoległościanu)

1)    Sprawdzić, czy punkty A(—1,1,1), B(2,l,0), C(0,1,0) leżą na jednej prostej.

2)    Wykazać, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.

3)    Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach A(2,-l,3), B(l,l,l), C(0,0,5)

4)    Sprawdzić, czy trójkąt o wierzchołkach A,B,C jest prostokątny

a) A(0,0), B(3,l), C(l,7)    b)A(l,0), B(-l,3), C(l,10) c) A(3,2,l), B(-l,6,5), C(5,3,2)

5)    Obliczyć pole trójkąta ABC, A(0,0,2), B(2,l,l), C(-1,1,0)

6) Znaleźć wektor u, wiedząc że jest on prostopadły do v =[1,2,-3] i w =[-1,4,2] oraz że u-[4,5,1] = -150

7) W rombie AB CD dane są przekątne    = a, gjj = b. Wyrazić za pomocą wektorów aib wektory

AB' BC*' CD' DA’

8)    Wektor a = [3,-2,1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest prostopadły, a drugi równoległy do wektora b = [-1,4,5], Następnie zrobić to dla dwóch dowolnych wektorów aib

(b*0).

9)    Dane są punkty A(4,-l,2a), B(a,2,4), C(-2,4,2), D(3-a, 1,-3). Dla jakich wartości parametru a iloczyn

skalarny    jest dodatni?

10) Dane są wektory a = [3,-2,1],    b = [1,2,1], c = [-1,4,3]. Obliczyć

a) [(a - 2b) x _c]x[(_a • c)(bx_c)]    b) [(b • c)(2c x a)] [(a - b)x(a + c)]

11)    Znaleźć objętość czworościanu o wierzchołkach A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6), D(2,3,8).

12)    Zbadać wzajemne położenie par prostych danych równaniami:

		X =1 — L			x = 1 + t.
	^!'^:‘	1 y = 2 + 3t1	b)'		rsj II >S	c) -	h'-'
a) -		x = 2+f,			- * x = 1+ 2t2 ^;
	,2:.	2 y =i—3t2			y=2+12		h b*

x = 2 + ti

y-3+ti

X ⁼ 1 + tj

13)    Dla jakich wartości parametru k proste 3kx - 2y + 3 = 0 i x + 4y - 3 = 0 są prostopadłe? Znaleźć (w tym przypadku) równanie dwusiecznej kąta między tymi prostymi.

14)    Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(-2,9) względem prostej 2x - 3y + 18 = 0.

15)    W trójkącie ABC dane są B(Q,5) i wektory boków =[4,12],    -[-8,7] Znaleźć równanie

wysokości opuszczonej z punktu C na bok AB.

16)    Ramiona trójkąta równoramiennego mają równania 7x + y + 5 = 0 i 2x-2y-3 = 0. Znaleźć równanie podstawy, jeżeli podstawa ta przechodzi przez punkt P(0,1).