88470

Chemia - Zestaw nr 9. Geometria analityczna w R \ rachunek wektorowy.

• Prosta w R²: postać parametryczna:    /

x = *o + at

, gdzie (xo,yo) e /, [a,b] - wekt. równoległy do /

y = y₀ + bt

postać ogólna:    /: A(x-Xo)⁺B(y-y₀) = 0, gdzie (x&y₀) e /,    [A, B] - wektor prostopadły do /

albo:    /: Ax + By + C = 0, gdzie [A,B] - wektor prostopadły do

prostej

postać kierunkowa:    /: y = mx + n, gdzie m współczynnik kierunkowy prostej /

•u - [x_lfX₂,X₃

|ił|>|sin(Z (u,v)) pole równoległob^ku)

•    K = Ly₁,y₂»3'₃

•    W = [z_lfZ₂>Z₃]

II. wektor. u*v

x 2 X31 I X.	*3	X	X-, II
			. UXV±U,V, U x y\ =
y2 y3\ Iri		y	y 2 u
		(długość iloczynu wektorowego to
u-v = xlyl +x2y2 +x3y3			, u • v = |u|*|t'| cos(Z (u,y))
			X, x2 x3
[UKW]=(U X v)’	w		y. y2 y3	(wzgl. objętość
			Z\ z2 z3

równoległościanu)

1)    Sprawdzić, czy punkty A(-l,l,l), B(2,l,0), C(0,1,0) leżą na jednej prostej.

2)    Wykazać, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.

3)    Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach A(2,-l,3), B( 1,1,1), C(0,0,5)

4)    Sprawdzić, czy trójkąt o wierzchołkach A,B,C jest prostokątny:

a) A(0,0), B(3,I), C(l,7)    b)A(l,0), B(-l,3), C(l,10)    c)A(3,2,l), B(-l,6,5), C(5,3,2)

5)    Obliczyć pole trójkąta ABC, A(0,0,2), B(2,l,l), C(-1,1,0)

6)    Znaleźć wektor u, wiedząc że jest on prostopadły do v=[l,2,-3] i w =[-1,4,2] oraz że u-[4,5,l] =-150

7)    W rombie ABCD dane są przekątne _AC' = a, gjj = b. Wyrazić za pomocą wektorów a i b wektory:

AB’ BC ’ CD’ DA

8)    Wektor a = [3,-2,1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest prostopadły, a drugi równoległy do wektora b = [-1,4,5]. Następnie zrobić to dla dwóch dowolnych wektorów a i b (b*0).

9)    Dane są punkty A(4,-l,2a), B(a,2,4), C(-2,4,2), D(3-a, 1,-3). Dla jakich wartości parametru a iloczyn

skalamy _Ap • pp jest dodatni?

10)    Dane są wektoiy a = [3,-2,l], b = [1,2,1], c = [-1,4,3]. Obliczyć

a) [(a - 2b) x c]x[(a • c)(b*c)]    b) [(b • c)(2c ^x a)] [(a - b)*(a + c)]

11)    Znaleźć objętość czworościanu o wierzchołkach A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6), D(2,3,8).

12)    Zbadać wzajemne położenie par prostych danych równaniami:

		X =1 -1,			x = l+t.		f
	'■i	y=2+3f1			I y = 2-f,
a) •		x = 2 + f.	b)		x=l+2t.	c) •	, f
	H	(N 1 II >>		l2-	y = 2 + r2

x = 2 + ti

= 1 +

^f2

J X = i +1

^:U = 2 +

13)    Dla jakich wartości |>arametm k proste 3kx -2y+3 = 0 i x + 4y-3 = 0są prostopadłe? Znaleźć (w tym przypadku) równanie dwusiecznej kąta między tymi prostymi.

14)    Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(-2,9) względem prostej 2x - 3y + 18 = 0.

15)    W trójkącie ABC dane są B(0,5) i wektory boków =[4,12], _CBZnaleźć równanie wysokości opuszczonej z punktu C na bok AB.

16)    Ramiona trójkąta równoramiennego mają równania 7x + y+ 5 = 0 i 2x-2y-3 = 0. Znaleźć równanie podstawy, jeżeli podstawa ta przechodzi przez punkt P(0,1).