88472

Chemia - Zestaw nr 11. I imkcje wielu zmiennych. Ekstrema funkcji._

•    Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji f: R" —> R

Jeżeli f ma ekstremum lokalne w punkcie a i jest różniczkowalna w tym punkcie to f_Xi (o) = 0 dla i = l,...,n

•    Warunek dostateczny istnienia ekstremum (dla funkcji dwóch zmiennych):

Jeżeli mamy daną funkcję dwóch zmiennych (ciągłą i mającą pochodne pierwszego i drugiego rzędu ciągle), to aby stwierdzić, czy funkcja ta ma ekstremum w punkcie a (w którym f_x'(a) = 0 oraz

r„io) f'(a)

f_y (a) = 0) - należy policzyć wyznacznik W(a) =

0 Jeżeli W(o) < 0 to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie a

0 Jeżeli W(a) > 0 to w punkcie a jest ekstremum lokalne funkcji f, przy czym jeśli f~(a)> o, to jest to minimum, a jeśli f'(a)< 0, to jest to maksimum.

0 Jeżeli W(a) = 0 to istnienie ekstremum musi być zbadane innymi metodami (być może - z definicji).

«-

Niech f, g będą dwiema funkcjami określonymi na podzbiorach przestrzeni Rⁿ i niech A = {x e Rⁿ: g(x) = 0}. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie Xo ekstremum warunkowe przy warunku g(x) = 0, jeżeli f |A (f obcięta do zbioru A) ma w tym punkcie ekstremum lokalne. Aby znaleźć punkty, w których może być ekstremum warunkowe (krytyczne punkty warunkowe) stosujemy metodę mnożników Lagrange’a, tzn. określamy funkcję pomocniczą F(x) = f[x) + Xg(x) (X- parametr), i rozwiązujemy układ równań

dF

-(x) = 0 dla i = 1,..., n

•    * dx\    • Mamy więc (n+1) równań z (n+1) niewiadomymi (n

g{*) = o

_wfi»ńłi7.frinYrh amtou x aaa paiamctt X). Bnatoulac len ulflad onamteM aapotodne_

krytycznych piuiktów warunkowych.

1) Obi. wsk. pochodne funkcji: a) f[x,y,z) = j ₂    2    ; policzyć f x > f y> f xx * f xy; b) g(x,y,z) = e***;

+ y +*

policzyć 9xyz c) h(x,y,z) =(x/y)', policzyć h_x,h_yih_z ;(|) k(x,y,z) = x^y’» policzyć ^kx>ky,k_ztk_xyz

2)    Obi. poclL cząstk. funkcji a) f(x,y) = V*⁴ -+y² • (Wsk.. W (0,0) policzyć z def.). b)f(x,y)= V*³ +y³

3)

Dana jest funkcja f[x,y) =

3

x y

x² + y²

(x.y)*0

(x,^) = 0

oraz F(t) = f[t², 21²)

G(u,v) = /(u + v, u - v)

a) Policzyć F'(0) i F’(l). b) Policzyć ^    c) Dodatkowo, wyk. że

fxy(0,0)* fyx(,0,0).

3^ł) Obi. poch.cząstk. do drugiego rzędu włącznie dla funkcji f(x,y)=arc tg (y/x); f(x,y)=x cos²(x+2y+z²).

3”) Znaleźć z'*, z’_y a następnie z”**, z”*,, z”„ , jeżeli z=f(u,v), gdzie u=u(x,y), v=v(x,y); zakładamy, że f,u,v mają ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie.

4)    Znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych, określonych wzorem:

a) f(x,y) = x² + xy + y² -2x - y b) f(x,y) = e^x_* (x² - 2y?)    c) f(x,y) = sin x + cos y + cos (x-y) 0<x,y<7t/2

d) f(x,y) = x²+ x²y + y²    e) f(x,y) = x² - 6xy + y³    f) f(x,y) = x³ + y² - 6xy - 48x

5)    Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji

a)    f(x,y) = x³ + y² - 3x - 2y-1    na zbiorze D = {(x,y): x >0, y > 0, x + y < 3};

b) f(x,y,z) = xe“^<*²*^ł:yS'^ł*³⁾    na zbiorze V = {(x,y,z): x² + y² + z²< 1, z > 0);

c) f(x,y) = x² + y² + xy+x + y    na zbiorze D = {(x,y): x >0, y >0, x -y < 3}.

6)    Znaleźć krytyczne punkty warunkowe dla funkcji: a) f(x,y) = xy^ przy warunku x + y = 1; b) f(x,y,z) = xyz (x>0, y>0, z >0) przy warunku x²+y²+z²=3 ; c) f(x,y,z) =x+y+2z przy warunku x²+y²+z²=l;

d) f(x,y) = cos²x+cos²y przy warunku x - y =7t/4. e) f(x,y,z)=x³y-8y+z przy warunku g(x)=z - 6x² = 0.

7)    Znaleźć największą możliwą objętość prostopadłościanu o polu powierzchni całkowitej równym 6a².