3582320358

ANALIZA - ZESTAW nr 11 (WMS, rok 1, gr. 4, sem. letni 2011-2012)

1. Wyznaczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanej F(x, y) — 0, w otoczeniu punktu Pq, danej równaniem:

5

o)

b)

c)

x² - xy 4- 2y² + x - y = 0, P₀ =

xy -lny- 1 = 0, Po=^,eJ; x²y-e^2y = 0, P₀ = (e, 1).

2. Wyzanczyć ekstrema warunkowe funkcji /(x, y) przy warunku g(x, y) = 0:

o) /(*,») =a:² + a:y-l-y²,    £?(x, y) = x 4- y - 1;

b)    f(x, y)=x³ + y³, g(x, y) = a? + y - 2, x > 0, &r > 0;

, , 1    1 . , 1 1    ,

c)    /(ac, y)    = ~ + g{x, y )    = -    + — -1]

x y    x* y²

d)    f(x, y)=x + y, g(x, y) = e*^+y - xy - 1.

3. Znaleźć ekstrema warunkowe:

a)	II	x + y,	t	1	-Te II	i 5
b)	f(x,y,z)	= x —	2-		x + y^2 ■	-z^2=l;
c)	f(x 1, ■ • •,	i Xn) —		+ ...		— + ■■■ + — = 1
						ai
d)	/(*!, ...,	i ®n)	xf	+ ...	d" %n’	Xi 4- • • • 4- xn — a,

4.    Znaleźć ekstrema funkcji

f{x, y,z) =x + y + z

przy warunku

g(x, y, z) = xyz-<? = 0,

gdzie c > 0, x > 0, y > 0, z > 0.

2 2 2

5.    Na elipsoidzie fg- + \    \ = 1 znaleźć punkt najbardziej odległy od

początku układu współrzędnych.

6.    Znaleźć ekstrema funkcji f(x, y) = xy przy warunku x² + y² — 2a² (a > 0).