22910

ANALIZA - ZESTAW nr 11 (WMS, rok 1. gr. 4, sem. letni 2011-2012)

1.    Wyznaczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanej F(x, y) = 0. w otoczeniu punktu P₀, danej równaniem:

а)    x² - xy + 2y² + x    -    y = 0,    P₀ = ^0, ^ :

б)    xy- lny- 1 = 0,    P₀ =    ^:

c) x²y — e^2v = 0, P₀ = (e, 1).

2.    Wyzanczyć ekstrema warunkowe funkcji f(x, y) przy warunku y(x. y) = 0:

a)    /(x,y) = x² + xy +    y², g(x,y) = x + y - 1;

b)    /(x, y) = x³ + y³,    g(x, y)    = x + y - 2, z > 0. y > 0;

, „    . i ¹    ,    ,    1    1    ,

c)    /(*, y) = - + g{x, y) = ~2 + ~2 -1;

X y    X² y²

d)    /(x, y) = x + y, y(x, y) = c^I+v - xy - 1.

3.    Znaleźć ekstrema warunkowe:

а)    f(x,y) = x + y, _ + _ =

б)    f(x, y, z) = x — 2 — z, x + y² — z²=l;

c)    /(xi,...,x„) =    + ... +x²n, — +----h — = 1;

Oj    a„

d)    /(a?i_f...,x„) = xj + ... + xj, Xi + ...+x_n = a, a>0,p>l.

4.    Znaleźć ekstrema funkcji

/(x, y, z) = x + y + 2

przy warunku

y(x, y, 2) = xy2 - c³ = 0, gdzie c > 0, x > 0. y > 0, z > 0.

5.    Na elipsoidzie 4- ^ -f ^ ⁼ 1 znaleźć punkt najhardziej odległy od początku układu współrzędnych.

6.    Znaleźć ekstrema funkcji /(x, y) = xy przy warunku x² + y² = 2a²

(« > 0).