kolokwium nr1 11 12

Kolokwium nr 1 z matematyki Wydział WILiS, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

Zad.l. | 8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 )

Wykazać, zc pole wektorowe F(x,y, z) = |z²cosx - ^    ^    i 2zsinx —

jest potencjalne dla x > 0, y > 0, z € R Wyznaczyć potencjał tego pola a następnie obliczyć całkę

| (*^3cosl | S) b ⁺ |j ⁺ £) i ⁺ (²*sindz.

gdzie luk L : y = z, z = (1 - _x)(2 - x) dla x 6 (1,2).

Zad.2.    | 5p - rozwiązanie piszemy na stronie"? |

Obliczyć moment bezwładności względem osi OY jednorodnego łuk L : y - In _x dła

*€(1,2).

Zad.3.    | 2p+5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 )

a)    Sformułować twierdzenie Greena.

b)    Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

/ (* - 4y)dx 4- (6* + 2y)dy L

gdzie łuk L jest łukiem zamkniętym zorientownym ujemnie, złożonym z wykresów funkcji y = 0, y =    — x*.

Zad.4.    ( 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 |

Wyznaczyć równanie prostej stycznej i płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej r^t) =

[l + i, 1 — 1, £] w punkcie odpowiadającym ta = 1 Zad.5.    | 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 )

Wyznaczyć punkty krzywej L : r{t) *= [ f, Iftt, -t² ] , w których prosta binormalna do tej krzywej jest równoległa do płaszczyzny *-y + 8z+2»0.

i