7404701522

Chemia - Zestaw nr 10. Geometria analityczna w R

• Płaszczyzna w R^J:

• rówii. ogólne: K: A(x — xo) + B(y — yo) + C(z - z o) = 0, gdzie v=[A,B,C]J_7t, zaś (xo,yo,zo)e7t

x =    + ujf + V]Z

y = Jo ⁺ u2^{t +} v2^r » gdzie u=[ui₎u2,u₃]||7t, v=[vi_jv₂,v₃]||7C , (xo,yo,z₀)e n z = z₀ + u₃t+v₃T

¹ przedst. parametr.:    7t:

• Prosta w R^J:

przedst. parametr.:    /:

¹ równanie krawędziowe:

x = xq + at

y = yo +bt , gdzie p₀=(x₀,yo,z₀)e l, zaś v=[a,b,c] || /; (czyli p = p₀+vt)

Z =Zq + Ct

/:

Aj x + B_{y + C_tz +    =0

A,x + y "i" C₂z + D 2 — 0 dwa wektory nie są do siebie równoległe (nie są proporcjonalne);

• równanie kierunkowe:

gdzie [Ai,Bi,C,]x[A₂,B₂,C₂] * 0, czyli te

, x- x_n y- y_n z - z_n

/:-= --=-, gdzie (x₀,yo,zo)e/,    [a,b,c] ||/.

a    b    c

•    Odległość punktu (xo,yo,zo) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0:

| Axq + By o + Czq + D\

Ja²

+ B +C"

Odległość dwóch danych prostych /i: p = pi + u^t i b: p - P2 + u₂t ■

d =

I (ui x u₂) • (Pi - P₂) I I [ui,u₂, Pi - p₂] I

I Uj xu₂

I ^!,1 ^x u2

gdy pr. są skośne, tzn. licz. i mian. we wzorze są

0;

p₂)

I«1

gdy te proste są równoległe, tzn. ich wektory kierunkowe są równoległe (

«2

1)    Znal. równ. płaszcz. H, a) przechodzącej przez P(l,5,l) i równoległej do m= [-2,1,3] i U2= [1,4,—1];

b)    przechodzącej przez P(2,4,-l) i równoległej do płaszczyzny 2x-y - 3z - 1 =0;

c)    przechodzącej przez P(3,5,7) i prostopadłej do płaszczyzn Hi: x —y + 2z = 1 i Hz :3x + y - z = -2;

d)    przech. przez punkty A(2,-1,3), B(l,4,2) i równoległej do wektora u=[3,1,5];

e)    przechodzącej przez punkty A(-l,2,4), B(2,l,3), C(3,-l,5).

2)    Znaleźć równanie (tzn. przedstawienie param., z wyj. ew. p.-tu d) prostej przechodzącej przez P(2,3,l) oraz:

{x — y + z=l

x + 2y+3z — 2 *    x=3t,y=-l+t, z=-t;

c) prostopadłej do prostej

x-l y — 3

i przecinającej prostą x = y = z;

2 2-1

d) przecinającej proste l^x + y = 0, X — y + z + Ą = 0 oraz l₂'.x + 3y —1=0,y + z = 0 (możnakrawędź.)

fx — 9y 4-5z+20 =0 Wskazówka: prosta przechodząca przez dany punkt i przecinająca Odp.. | 2x+y —5z—2 =0 prostą leży na płaszczyźnie przechodzącej przez ten punkt i tę prostą

x — 2 y 4-1 z — 3    x —1 y — 2    z-ł~3

3) Znal. równ. płaszcz., zawierającej proste łi:-=-=-i b ’•-—-=- (jeżeli istnieje).

4) Czy przez proste h

+ 3y — z—1 = 0

i b

-2 -3 = 0

-2

fx + 5y + 4z — 3 = ' [x + 2y + 2z-l=

można poprowadzić płaszczyznę?

■y — 3z = Q    [x + 2y + 2z—1=0

5) Znaleźć rzut prostokątny punktu P(l,2,-2) na płaszczyznę x - 2y + 3z - 1 = 0. 6) Znaleźć punkt symetryczny do punktu P(1,1,0) względem płaszczyzny x + 2y - z = 0. 7) Znaleźć rzut prostokątny punktu P(3,5,4) na prostą /: x= -2t + 1, y = t, z = 5. 8) Znaleźć punkt symetryczny do punktu P(l,2,-2) wzgl. prostej k x = t, y = 2t - 3,

na płaszczyznę x + y + z = 0.

,    .    x y-1 z+1

z=—t+2. 9) Znaleźć rzut prostokątny a) prostej — = ——    -—

b) prostej x = 3+t, y = —l+2t, z = 4+4t na płaszczyznę 2x+y+z-7=0.

10) Znaleźć równanie prostej, przechodzącej przez P(l,l,-2), prostopadłej do wektora [-1, 3, 4] i przecinającej prostą    =    =-| (Odp.: x = l+2s, y = l-6s, z = -2 + 5s.)