88471

Chemia - Zestaw nr 10 cz 2. Geometria analityczna w R\ część II

1)    Znaleźć równanie prostej, przecinającej prostopadle proste: h: X — 1 + f, y — —1 — 2f, Z — 3 — f +4y —z — 0

■)y _{+ z +} l-Q Jaka j^t odległość tych prostych (daje się policzyć co najmniej dwoma sposobami)?

2)    Zbadać wzajemne położenie prostej / i płaszczyzny 7t. Znaleźć sinus lub cosinus kąta między nimi:    a)

/:    x = 2 + f, y = 2f, z = 0    l: x =l — t,y = l + t, z = t (x- v + z + 2 = o

b)    ^    , c) /: «    , TC x - 1 = 0

~    ~    [x + y - z-3 = 0

f X

¹ i-2

tv. x + 2y - 1

0

;r:x + z-3 = 0

x + y + 2z — 1 =0

_    _ _rt, 7C: x +y + 1 = 0

x + y — 2z + 3 = 0    ^J

3) Znaleźć równania płaszczyzn równoległych, na któiych leżą proste la x + y + z + l=0. x-y+z-1=0 i l₂ : x + l = 0 2x — y — z-1 =0 oraz odległość między tymi płaszczyznami (będącą, w konsekwencji, również odległością między tymi prostymi). Porównać z odległością prostych, obliczoną bardziej bezpośrednio.

4)    Znaleźć równanie prostej, równoległej do płaszczyzn Hi: 3x + 12y - 3z - 5 = 0 i Hi 3x - 4y + 9z = - 7 i

przecinającej proste /,

2    —4    3

(Odp.: x = -3 + 8f,y = -l-3f,z = 2-4f.)

5)    Znaleźć odległość między prostymi: x-9_y +2

-3

d)/:

a) /, :-

X + 5    y-3 Z + l .    ~    ~    1.0*    *-» . ą.

-=--=-oraz L: x = 3-2t, y = -l + 3f, z = 2 + 4/.

Z ... x _y+7 z-2    Jx+y+l=0 Jx

1 ^{1 2} ’ —2    9    2’    * ¹ ’ [x —z+l=0 ²[y

+ y — z=0 y + z+1=0

c) /,; x=3+t, y=l-t, z=2+2t; ly. x=-s, y=2+3s, z=3s (odp.: 9^110 / 55)

6) Znaleźć równanie prostej, przechodzącej przez P(2,3,l)oraz przecinającej proste

+ y = 0 y+z+4=0

Jx+3y-l=0 ²‘|y + z=0

Odp.

[x—9y+5z + 20=0 I 2x+y —5z —2 =0

Wsk.: Prosta przech. przez dany punkt i przecinająca daną prostą leży na pł. przech. przez ten punkt i tę prostą.

x y — lz

7)    Przez rzut punktu A(2,-l,l) na prostą 1₍: — ——— = — poprowadzić prostą prostopadłą do l_t i przecinającą

\x-y-z +2 = 0 P™⁵*¹* {* - 2y + 4 = 0

8)    Zbadać wzajemne położenie par prostych; jeżeli leżą na jednej płaszczyźnie, to podać jej równanie:

a)

	x+2y—z+3=0	x=3r+7
	3x— y + z+l =0 2x+3y-2z-l=0^; ‘‘	y=2r+2
l2		z = -2r+l
	x+y —2=0

b'

x = f + 2 y = 2f + l z = -2t

x—1 y+2 z—5

c)

x = -jt +3 y = -t + 3 z = t-2

9)    Wyk. że dane dwie proste przecinają się, i znaleźć równanie dwusiecznych kątów, jakie tworzą między sobą:

a)    li: x=0, y=l+3t, z=l-4t oraz li x=-6t, y=l, z=l+8t;

b)    1₍: x=l+2t, y=2t, z=t; 1₂: x=l l+8s, y=6+4s, z=2+s. Odp.: z=4-t, y=l+t, z=t oraz x = -l/2+(7/2)t, y = -l/2+(5/2)t, z=t (ew. x=3+7t’, y=2+5t', z=l+2t’)

Wsk. Znaleźć wektory kierunkowe dla obu prostych o jednakowej długości - oraz ich sumę i różnicę.

10)    Dane są proste \a x/2=y/3=z oraz 1₂: 2x+3y+z-8=0, x+4y-2z+3=0. Znaleźć rzut prostok. prostej li na płaszczyznę n, poprowadzoną przez prostą 1₂ równolegle do prostej li. Odp.: x = -23/5 + 2t, y = -46/5 + 3t, z = t.