88467

Chemia - Zestaw nr 6. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe.

Równanie

krzywej:

a<x<b,

0 <y< f(x)

x=x(t),

/=y(t).

te «x,p>

Pole figury płaskiej:

S = J fi*)dx

Długość łuku krzywej:

i =/Vr+crtx)Fck

' I-

I =fy/[x'(r)]² +{y'(t)rdt

Objętość bryły obrotowej

V— nj f ²tx)dx

xjy‘( 01

Pole powierzchni (bocznej) _bryły obrotowe j_

p = 2^rJ| ftx)\yll + lf\x)Ydx

•    Całka niewłaściw a fiuikcji f(x) na przedziale nieskończonym

oo    t

•    na przedziale <a,+oo): JV(x)dx = lim J f(x)dx • na przedziale (-00,a>:

a    a

aa    00    0    R

JV(x)dx=^lim jf(x)dx • na przedziale (-<»,+00): Jf(x)dx =^lim JY(x)dx    J f(x)dx

•    Całka niew łaściw a fiuikcji f(x) nieograniczonej w otoczeniu pewnego punktu c € <a,b>:

b    b-e    b    b

• c = b =» f f(x)dx = lim f f(x)dx    *c = a => \f(x)dx= l\m    f f (x)dx

J    €—lO+ J    ^J    f—)0-f- ^J

aa    a    0+£*

b    c —t?    b

•ce(ab) => f f(.x)dx=    lim    I f(x)dx + lim    f f(x)dx

^{v    7}    J    f—)0-ł-    ’    u—i0+ ^J

a    a    c+j4

2 7C    7 j

) Policzyć całki:    a) J x|cos x|dx b) J . dx

o    o \1—x²

. f ln² x . *)

t«bHr

rzyrpdP^bSzanrDgnmnrzonFgCT

Ttr

a) kiz.vwą y' v ■ a¹

x(t) — r(t —sint)

yiO =r(l—cosf)

3)    Obi. pole obszaru ograniczonego krzywymi: a) y = 4 - x² i y = x²-2x b)y=x²-2x+2 i y= x/5 + 2.

4)    Obliczyć pole figury, ograniczonej krzywą y = - x² + 4x - 3 i stycznymi do niej w punktach A(3,0) i B(0, -3).

5)    Obliczyć długość łuku krzywej:    a) y = 2e -    , 0 < x<ln2    b) y =x-Jx , 0 < x < 4

x(/) = e' sinf y(t) = e^l cost

6)    Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:

a)y = tgx, 0^x<7C/4; b)y = lnx, l£x<e;    c)y = arcsin x, Ośxśl; d) cykloidy z zad. 2b.

7)    Obliczyć pole powierzclini bocznej bryły, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej o równaniu:

_    ,    [x(f) = 2cosf — cos2f

a) y =vx+2 , 0<x<4; b)y = tgx, 0<x<ft/4 (podstawić tg x=t);    2sinf sin2f    TC;

d) cykloidy z zad 2b.

8)    Policzyć całki niewłaściwe: a) J. ¹ - ^dx : b) J

0 < t <KJ2    d) y = lnx

y/3 ^ x ^ >/8 e) cykloidy z zad. 2b

x * -f-2x -ł-2

dx ■ d) fxe^xdx ■ _e)

°c x ln x ,

f) -—c<**;

x (1 -*-x² )²

g) f , ^{> l ł}2^t.?^rfx (^w istocie jest to całka właściwa);

1 (1 -t-x~)

h) J

| x | ln | x | (l-4-X²)²

Wx.