DSC07294

10

Liczby zespolone

• Przykład 1.2

Znaleźć liczby rzeczywiste x, y spełniające podane równania:

a)    x(2 + 3i) + y(4 - Si) = 6 - 2f;

b)    (x — i) • (2 — yt) = 11 — 23i;

2-Sf * 3 + 2i “ *’

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy fakt mówiący, że dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe ich części rzeczywiste i urojone, tzn.

.    si = Z2 <=> Rezi = Re22 oraz Imzi = Im22.

a)    Mamy

x(2 + 3i) + y(4 - 5i) = (2x + 4y) + (3x - 5y)i.

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania x(2 + 3i) + y(4 — 5i) = 6 — 2i, otrzymamy układ równań

f 2x + 4y =    6,

\ 3x - 5y = -2.

Rozwiązaniem tego układu jest para x = 1, y = 1.

b)    Mamy

(x — i) - (2 — yi) = (2x - y) + (-2 - xy)i.

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania (x — i)(2 — yi) = 11 — 23i, otrzymamy układ równań

f 2x — y =    11,

\ -2 - xy = -23.

Układ ten jest kolejno równoważny układom równań:

/ y =2x-ll,    fy = 2*-ll,    f y = 2»-ll,

\ -2 — x(2x - 11) = -23    \ 2x² - llx - 21 = 0    1 * = 7 lub x = --

c) Mamy

*    . V ₌    x(2 -f 3i)    y(3 — 2Q

2 - 3*    3 + 2i (2 - 3i)(2 + 3i)    (3 + 2i)(3 - 2i)

2x + 3xi    3y - 2yi _ 2x -t- 3y 3x — 2y .

"    13    ^ł 13    ”    13    ⁺    13

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania

-JE— + -Jł— L i

2 - 3i 3 + 2i

otrzymamy układ równań

1,

2x -f 3y 13

3z-2y

13

Przykłady

11

• Przykład 1.3

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:

a) z² 4- 3z = 0;

c) s? - z 4 1 = 0;

e) (z 4 z) 41 (2 — z) = 2i — 6;

I — 37    2f— 3

^g' 3z 4 2i ~ 5-222*

b) 22 4 (1 41)2 = 1 - 3t;

f) (i — 3)2 = 5 4 i — z;

h*) z⁴ - 4iz³ - 62'* 4 4iz+ 1 = 0.

Rozwiązanie

a) Niech 2 = x + iy, gdzie 2.1/ € R. Wtedy

z³ + 3ź = (ar 4 iy)⁷ 4 3(z 4 ty) = z² - y² 4 2zj/i + 3z - 3yi = x² -y² 4 3® 4 (2®y - 3y)i.

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania z² 4 3ź = 0, otrzymamy układ równań    fiI

| x⁷—y⁷ + Zx = 0_t |    2®y— 3y = 0.

2- -    4 3z = 0

Z/(?2 - 3) = 0

Układ ten jest równoważny kolejno układom f ®²-y²43® = 0

y = 0 lub x = -

3;

a 2 y = |v'3

■

lub

lub {""“o³ lub

\ y = o \ 2/ = 0

Równanie z² 4 3z = 0 ma zatem cztery rozwiązania:

_Sl = 0, są = —3, z_s = §(l + v/3i), Z4 = |(l-^0-

b) Niech 2 = z 4 iy, gdzie 2,7/ € R. Wtedy

2z+(l+i)ź = 2(x + iy) 4 (1 4 i)(z -z‘y) = 2® + 2iy +2-iy + iz + y = (3® 4 y) 4 (z 4 y)i.

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania 2z 4 (1 4 i)z = 1 - 3i, otrzymamy układ równań

(3x+y=    1,

ij| ® 4 y =

Rozwiązaniem tego układu jest para z = 2, y = —5. Zatem z = 2 — 5i.

c) I sposób. W rozwiązaniu wykorzystamy wzory na pierwiastki równania kwadratowego

az² -f- ós 4 c = 0_t gdzie a, b, c* 6 C oraz a 5Ó 0 :

—6 — |    — Ó4Ó

^S| ~ 2a ’    ^— 2u ' 1