4507

40

Liczby zespolone

• Przykład 3.7

Znaleźć roiwi^jania podanych równań:

a) t* a (2 + 4i)⁹; b) (z - O⁴ = (* + O⁴. c) z³ + 3z* + 3z == i - 1-

Rotwfalianit

a) Zuwway, ic roiwiiianie równania i* = (2 + 4i)* oprowadza się do znalezienia zbiór. pierwiastków 6-tego stopnia / liczby (2 + 4i)‘. Jednym z elementów tego zbiorą jest oczywiście ba ba -₀ = 2 -j- -li. Pozostałe elementy tego zbioru wyrażają się wzorem:

<*■10 (cos + osin • gdzie 1 ^ k $ 5.

Zatem

*i • (2 + 40 (co. ~ + osin -* (2 + 4i)    \ = I - 2^ + (2 + V5)

** = (2 + 40 (co. ~ + i sin y-) = (2 + 4«) ^-| +    - -I - 2v/5 + (-2+ n/5) i,

*j »(2 + 40 (c°* t + i sin jr) = (2 + 40 (—1) = —2 — 4t,

Z4 » (2 -ł- 40 (cos ^ + i sin ||) = (2 + 41) ^    = -1 + 2 v/3 - (2 + y/S) i,

#* - (2 + 40 (cos^ + i sin = (2 + 40    = 1 + 2y/Ś + (2 - V5) «.

b) Oczywiście z jt —i. Zatem nasze równanie ma równoważną postać (*■ — jj = 1. która jmt s kolei równoważna alternaty wie równań

z — i

- 7 ■ U/1-,

* + •

gdzie 0 ś * ś 3 oraz {wo, a>₂, ur?, u»j } - y^T. Ponieważ v^T = {I, -1, i,-i), zatem równania te przyjmują postać < - i x < + i lub < - i a —(z + i) lub z — i = i(x + 0 lub i - i = —i(z + i)- Pierwsze z tych równań jest sprzeczne, a pozostałe mają odpowiednio rozwiązania n n 0, <a * —1, <j = 1.

cj Równanie s³ + 3z² + 3z = i — I można zapisać w postaci (z + l)³ = «. Liczba z + 1 jest zatem dowolnym elementem pierwiastka trzeciego stopnia z liczby i. Ponieważ

i. 2*’

v/3

2

więc

z + I ■    lub Z + J S. —    + If lub z + I = -i.

Rozwiązaniami tych równań, a zatem i wyjściowego równania, są liczby

v/3    1 .

~r~^{1 +} r-

y/3    1.

x₂ = -—-1 +

zt ■ —J - i, aa

Trzeci tydzień - zadania    41

Zadania

' O Zadania 3.1

Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej rozwiązać podane równania:

A)--⁷ = ?i b)(Py=*^J|z>|; e)(DVl^ss?; .

d)|z|³ = iz^s; e) *• = (*)«;    f)

0 Zadanie 3.2

Stosując wzory Eulera wyrazić podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów wielokrotności kąta x:

a) sin³ x; b) cos² *; c) sin* ar; d) sin⁴ * + cos⁴ z.

0 Zadanie 3.3

Korzystając z definicji obliczyć podane pierwiastki:

a) v/5 “ lii; b) V—11 -ł- 60i; e) <fi\ d) -^16.

0 Zadanie 3.4

Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki: a) V-l + \/3i; b) v^27r; c) ^=4; d) V²64; e) 0%; f) ^-1 +7; g*) 1% h*) <fZVil 0 Zadanie 3.5

Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastków obliczyć ich pozostałe elementy:

a) v'(5 -4'T; b) V(-2 + 3^; c) ^(2^; d) </(2-2i)‘.

0 Zadanie 3.6

Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt z\ = 4 - i. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu, jeżeli jego środkiem jest: a) początek układu współrzędnych; b) punkt u = 1;

c) punkt u = 3+1;    d) punkt u = 7 + y/2i.

0 Zadanie 3.7

Znaleźć rozwiązania podanych równań:

a) a- = (1 - m b) (a - 1)« = (i - z)«; c) = (i, + 1)3.

0 Zadanie 3.8

Punkty z\ = 1 - 3t, r₃ = -1 + 5i są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu Wyznaczyć położenia pozostałych wierzchołków tego kwadratu.