00098466

148 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Przykład 3. Znaleźć całkę ogólną równania

(U.10)

Niech SI będzie dowolnym obszarem przestrzeni trójwymiarowej. Jeżeli h(x,y) oznacza dowolni funkcję klasy C' w obszarze O, będącym rzutem prostokątnym obszaru Si na płaszczyznę Ozy, lo z) = h{x,y)    (U. 11)

Znaleziona całka ogólna zależy od jednej dowolnej funkcji dwóch zmiennych.

Uwaga. Na podstawie powyższych przykładów mogłoby się wydawać, żc całka ogólna równania różniczkowego cząstkowego rzędu pierwszego zależy od jednej funkcji dowolnej, całka ogólna równania rzędu drugiego od dwóch dowolnych funkcji itd. Przypuszczenie to w ogólnym przypadku jest jednak błędne.

Zagadnienie Cauchy’cgo. W teorii równań różniczkowych cząstkowych poszukuje się najczęściej rozwiązań nie tylko dostatecznie regularnych, lecz spełniających ponadto pewne dodatkowe warunki. Te dodatkowe warunki określające rozwiązanie szczególne (nie zawsze w sposób jednoznaczny) nazywamy warunkami granicznymi.

W zależności od interpretacji fizycznej zagadnienia warunki graniczne nazywamy warunkami początkowymi albo warunkami brzegowymi. Obecnie omówimy podstawowe w teorii równań różniczkowych cząstkowych zagadnienie z warunkami początkowymi.

Niech będzie dane równanie różniczkowe cząstkowe rzędu pierwszego

du

dx

dy ’ dz )

(11.12)

w którym « = u(x,y, z) jest funkcją niewiadomą,/^,o_2>.... »₆) zaś jest funkcją daną, określoną w pewnym obszarze £2, c E₆.

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania (11.12) polega na wyznaczeniu takiego rozwiązania u = u{x,y, z) tego równania w obszarze D_x c które spełnia warunek początkowy

“0*o. y, *) = <piy, z)    (u.i3)

przy czym liczba x₀ oraz funkcja <p(y, z) określona w obszarze D\, który jest rzutem obszaru />, na płaszczyznę Oyz, są z góry dane.

Warunek (11.13) oznacza, że na płaszczyźnie x = x₀ rozwiązanie h(x, y, z) ma przyjmować z góry dane wartości.

Niech z kolei będzie dane równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

01-14)

d²u _ j    du du_ d*u d²u \

d*⁵    y,z, t, u,    ’ dxdy'ót¹ }

w którym u= u(x,y,z,t) jest funkcją niewiadomą, fi(v,,v₂,    »!«) zaś jest

funkcją daną, określoną w pewnym obszarze S2j <= E_la.

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania (11.14) polega na wyznaczeniu takiego rozwiązania u ~u(x,y, z, t) tego równania w obszarze D₂ ■= E₄, które spełnia warunki początkowe

u&o. y, 0 y( y, 0,    u,teo,y, 0 = v(y, *, 0 ca.is)

przy czym liczba x₀ oraz funkcje <p(y, z, t) i Y'0> z, i) określone w obszarze D₂ są z góry dane.

Uwag a. Obszar D₂ będący dziedziną funkcji f(y. z, 1) i y>(y, z, t) jest obszarem przestrzeni Ej złożonym ze wszystkich punktów, których współrzędne są trzema ostatnimi współrzędnymi dowolnego punktu obszaru Bj c C₄.

Liczbę x₀ oraz funkcję <p(y. z) w przypadku zagadnienia Cauchy’ego dla równania (11.12) lub odpowiednio liczbę x₀ oraz funkcje <p(y, z, r) i yO, z,t) w przypadku zagadnienia Cauchy’ego dla równania (11.14) nazywamy wartościami początkowymi.

Przekład 1. Znaleźć całkę szczególną równania u_x-u_y — 0 określoną na całej płaszczyźnie Oxy i spełniającą warunek początkowy: u(0, y) = y¹.

Zgodnie z (0.9) całka ogólna tego równania u(x, y) = *(x+y), gdzie f(£) jest dowolną funkcją klasy C‘ w przedziale (-», +00).

Ponieważ u(0, y) = g(y) - y^J, Więc «(*+y) = (*+y)*, a zatem całką szczególną spełniającą dany warunek początkowy jest funkcja u(x, y) -» (x+y)^ł.

Przykład 2. Znaleźć całkę szczególną równania u_xx — O określoną na catej płaszczyźnie i spełniającą warunki początkowe: u(O, y) ™ y². u_x(0, y) = y.

Całka ogólna tego równania u(x, y) = gte)x+h(y), gdzie giy) i A(>) są to dowolne funkcje klasy C‘ w przedziale ( - co, — 00). Korzystając z warunków początkowych otrzymujemy: h(y) — y², g(y) — y. Szukaną całką szczególną danego równania jest więc funkcja u(x, y) — xy+y².

Powstaje pytanie, przy jakich założeniach o funkcjach występujących w równaniach (11.12) i (11.14) oraz o funkcjach występujących w warunkach początkowych (11.13) i (11.15) zagadnienie Cauchy’ego ma jednoznaczne rozwiązanie? Na pytanie to dają odpowiedź dwa twierdzenia, udowodnione przez wybitną matematyczkę rosyjską Zofię Kowalewską (1850-1891). Twierdzenia tc są znane w literaturze pod nazwą twierdzeń Cauchy’ego-Kowalewskiej. Przed ich sformułowaniem wprowadzimy pojęcie funkcji analitycznej.

Def. Funkcję f(x) nazywamy analityczną w otoczeniu Q punktu jeżeli

Wiadomo, ie funkcja analityczna w otoczeniu Q punktu x₀ ma w tym otoczeniu pochodne dowolnego rzędu, a ponadto dla każdej liczby naturalnej n

n!

a - Z¹"^)

Szereg (11.16) jest wówczas szeregiem Taylora funkcji /(*) (por. część II, rozdz. UL p. 10).