matma7

Równania różniczkowe zwyczajne

1.Rozwiązać (znaleźć całkę ogólną równania): a)x²y'= y -1 b) (l - y)dx = (l + x)dy Wykorzystać: są to równania rzędu pierwszego (występuje tylko pierwsza pochodna) o zmiennych

dy

rozdzielonych - korzystając z tego, że y'= — możemy tak je przekształcić, że po jednej stronie będzie tylko

dx

y, po drugiej tylko x, wtedy obie strony równania całkujemy. Rozwiązaniem takiego równania jest nieskończenie wiele funkcji różniących się o stałą.

2 y    y

2.Rozwiązać: a) y' = — b) xy' - y + ctg — y- 4x    x

Wykorzystać: są to równania jednorodne, w których nie da się rozdzielić zmiennych. Należy zastosować

y

podstawienie u- — czyli y = ux co oznacza, że y'=u'x + u x

3. Rozwiązać: a)y'= ........... b) y'~ Jx - y +1

x + y ~1

Wykorzystać: robimy podstawienie u = ax + by + c

4. Rozwiązać: a) xy'+y = x³ b) y'+y cos x = sin 2x

Wykorzystać: w tych równaniach nie da się rozdzielić zmiennych, rozwiązujemy więc najpierw równanie jednorodne (pomijamy funkcję zmiennej x). W otrzymanym w ten sposób rozwiązaniu dokonujemy uzmiennienia stałej, liczymy pochodną i podstawiamy wszystko do równania niejednorodnego (czyli danego).

y    y    D

Np. dla /+— = sm x równanie jednorodne to y'-\— - 0. Jego rozwiązaniem jest y- —. Uzmienniamy stałą:

X    X    X

y - £(*}. Funkcje y i y ’ wstawiamy do y'+ — = sin x stąd otrzymujemy, że D(x) = sin x - xcos x + E. Po

x    x

.    .    , D(x) . .    .    . sinx    E

wstawieniu tego do y — —— uzyskujemy rozwiązanie y ~--cosx + —.

X    XX

5.Rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy’ego: a) y'=    , y(o) - 1 b) y'= ----- , y(l) = 0

1 -x    x-y

c) xy-y = x² + x, y(l) = 2 d) y'+ytgx = cos² x, y(f) = {

Wykorzystać: wyznaczyć rozwiązanie ogólne a następnie wykorzystać podany warunek.

6.Rozwiązać:a)xy"=/+l b)^^M=(y')² c)x²y^,+xy'= 1, y(l)=l, y(l) = 2 d)y'=2jy, y(l) = y(l) = l

e)2y^ł=3/,F(-2) = l, y(-2) = -l

Wykorzystać: gdy w równaniu nie występuje y, to robimy podstawienie /- u(x) czyli y"=u\ gdy w równaniu nie występuje x, to robimy podstawienie y'= u(y) czyli y"= u'y'= u'u. Dzięki takim podstawieniom podane równania rzędu dwa można sprowadzić do równań rzędu jeden.

7.Rozwiązać: a)y~y= 0 b)y’+y-2y = 0 c)y'+2y+y = 0 d)y"-2y+2y = 0 e)y”+y'-6y'= 0 f)y^M+y= 0 g)y''-2y'+y = 0,    y{l) = 2, y(l) = 3 h)y''-2y'+5y = 0, y(0)=l, y(o) = 0

Wykorzystać: są to równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach. Stosujemy podstawienie y = eⁿ. Po wstawieniu i podzieleniu przez eⁿ uzyskujemy tzw. równanie charakterystyczne. Jeżeli r jest jego pierwiastkiem k krotnym to odpowiadają mu funkcje będące częścią rzeczywistą i urojoną funkcji y = xⁿe^rx, gdzie n e {0,1,..., k -1}. Suma takich funkcji, każda pomnożona przez inną stałą, daje rozwiązanie ogólne równania różniczkowego. Gdy r jest liczbą rzeczywistą, to bierzemy po prostu funkcje y - xⁿe^rx. Jeżeli r nie

/I