Zadania równania różniczkowe (lista 3)

Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych - Lista 3

Zad. 1. Wyznaczyć rozwiązanie szczególne zagadnienia xy' = y -    y(f) = 1.

Zad. 2. Rozwiązać równanie:

M    t/ = ~Fr,

v-

x-

x-2y+l >

(b) ,y = te*±ł

(c) (3y - 7x + 7)dx- (3* -7y-3)dy = 0,

(d)    (x + y - 2) dx + (x - y + 4) dy = 0.

Zad. 3. Znaleźć rozwiązania ogólne (oraz szczególne) następujących równań różniczkowych zupełnych:

(a)    x(2x² + y²) + y{x² + 2y²)y' = 0,

(b)    U_x+^±f-\dx= -^^dy,

x²y

*2T sin² x

(e) {2xtgy-\- 5) dx + 1

^.dy=0, y(-)=7,

. sin2x . .    ,    ____ - i ,

(c) ( —--h x dx + ( y--5— )dy = 0,

(0

2)    4

(x dx + y dy) = 0, y{ 4) = 3

(d)

v y v v

2x dx    (y² — 3.t²) dy

yO

+

2/

—    2/|x=l — 1)

\Jx¹ + y²

(g)    e^3x (sin 3y d,x + cos 3y dy) = 0, y{0) = 7r,

(h)    (x² + y²)dx + 2xydy = 0, y(3) = 1.

Zad. 4. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych używając jeśli jest podany lub znajdując czynnik całkujący:

(a)    (y² — x) dx + 2y dy = 0, y=(f>(x),    (e)    (x + y) dx + tg x dy = 0,

(b)    y dx — x dy = 0, y=(j)(y),    (f)    (2x²y — l) dx + x³ dy — 0,

(c)    [3y²-x)dx+(2y³-6xy)dy = 0,    y =    ct>{x+y²),    (g)    y² dx + (xy - 1) dy = 0,

(d)    x d,x+y dy+x(x dy—y dx) = 0,    y =    <ł>(x²+y²),    (h)    (x² + 2x + y) dx + 2 dy = 0.

Zad. 5. Znaleźć stałą Lipschitza dla funkcji / danej wzorem

« /<#> -    TTf '

(b) f{y) = e^_l^y|.

Zad. 6. Pokazać, że dla funkcji f{x,y) = < ^{x +v} ’ ^{x >} ■

[0=

x = y = 0,

warunek Lipschitza nie jest spełniony w żadnym

obszarze zawierającym punkt (0,0).

Zad. 7. Pokazać, że funkcja f{x,y) = 3y²!³ nie spełnia warunku Lipschitza w żadnym obszarze przecinającym oś Ox.

Zad. 8. Pokazać, że funkcja f(x,y) = \J\-y² spełnia warunek Lipschitza w obszarze D = {{x,y) : a < x < b,c < y < d,\ jeśli c > -1 i d < 1 ale nie spełnia tego warunku gdy c = -1 lub d = 1.

Zad. 9. Pokazać, że przez każdy punkt (x,y) płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania y' =

xy + e~^v.

Zad. 10. Czy dla równanie y' = | ^/y² spełnione są warunki twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności? Odpowiedź zilustrować przykładami rozwiązań przechodzących przez punkty osi Ox.

Zad. 11. Niech t₀, y₀, będą dowolne. Rozpatrzmy zagadnienie początkowe y' = y²,    y(t₀) = y₀.

(a)    Uzasadnić, że istnieje rozwiązanie tego zagadnienie na pewnym przedziale |t — *o I < h-

(b)    Pokazać, że to równanie przy jednym warunku początkowym ma rozwiązanie na całym przedziale (-oo, +oc) a dla innego warunku początkowego nie. Wsk.: rozpatrzyć warunek początkowy y(0) = 0 / 2/(0) = 1.

Zad. 12. Dla następujących zagadnień początkowych obliczyć po 4 kolejne przybliżenia metodą Picarda. Czy można na ich podstawie zgadnąć jakie rozwiązanie otrzymamy kontynuując ten proces w nieskończoność?

(a) y' = y, 2/(0) = 1;

(b )y' = -xy, 2/(0) = 1;

(c) y' = Tfy, 2/(0) = 0;

(d )2/' = f, 2/(1) = 1-